Ranguri si valori proprii

[Beniamin Bogosel]

Fie \( X \) o matrice patratica de ordinul \( n \), nesingulara, cu coloanele \( X_1,X_2,...,X_n \). Fie \( Y \) matricea avand coloanele \( X_2,...,X_n,0 \). Demonstrati ca matricile \( A=YX^{-1} \) si \( B=X^{-1}Y \) au rangul \( n-1 \) si au toate valorile proprii egale cu 0.

IMC 1995

[Marius Mainea]

\( rang(YX^{-1})=rang(X^{-1}Y)=rangY=n-1 \) deoarece \( X^{-1} \) este inversabila si numarul maxim de coloane liniar independente ale lui Y este n-1 (acestea sunt \( X_2,X_3,...X_n \))

Apoi se arata ca \( A^{n-1}=B^{n-1}=O_n \)