Concurs "Teodor Topan" - problema 3

[maky]

In multimea \( M_2\left(\mathbb{Q}\right) \) se considera submultimea \( G=\left{\begin{pmatrix}a&b\\b&a\end{pmatrix}\mid{a^2-b^2=1},a,b\in\mathbb{Q}\right} \).
a)Sa se verifice ca \( I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\in{G} \);
b) sa se arate ca daca \( A,B\in{G} \) atunci \( A\cdot{B}\in{G} \);
c) Sa se arate ca, daca \( X\in{G} \),\( X=\begin{pmatrix}a&b\\b&a\end{pmatrix} \) atunci \( X \) este matrice inversabila si ca
\( X^{-1}=\begin{pmatrix}a&-b\\-b&a\end{pmatrix}\in{G} \);
d) Sa se gaseasca o matrice \( A\in{G},A=\begin{pmatrix}a&b\\b&a\end{pmatrix} \) cu \( b\ne{0} \);
e) sa se arate ca multimea \( G \) este infinita.

[Tudor Micu]

a) Evident

b) Fie \( A=\left(\matrix{a&b\cr b&a}\right) \) \( B=\left(\matrix{c&d\cr d&c}\right) \). Avem atunci \( A\cdot {B}=\left(\matrix{ac+bd&ad+bc\cr ad+bc&ac+bd}\right) \)

c)X este evident inversabila pentru ca \( det X=1 \)
\( X^{t}=X \)
\( X^{*}=\left(\matrix{(-1)^{1+1}a&(-1)^{1+2}b\cr (-1)^{2+1}b&-1(2+2)a}\right)=\left(\matrix{a&-b\cr -b&a}\right) \)
\( det X=1 \), rezulta \( X^{-1}=\left(\matrix{a&-b\cr -b&a}\right) \)

d)Trebuie sa gasim \( a,b\in\mathbb{Q} \) astfel incat \( a^2-b^2=1 \)
Fie \( a=\frac{x}{y} \) \( b=\frac{z}{t} \), unde \( x,y,z,t\in\mathbb{Z} \) si \( (x,y)=1 \), \( (z,t)=1 \)
rezulta \( \frac{x^2}{y^2}-\frac{z^2}{t^2}=1 \)
\( x^2t^2-z^2y^2=y^2t^2 \)
\( t^2(x^2-y^2)=y^2z^2 \)
\( y^2z^2\ \vdots\ t^2 \), \( (z,t)=1 \), rezulta \( y\ \vdots\ t \), deci \( y=Kt \)
Astfel, avem ca \( z^2K^2=x^2-K^2t^2 \), de aici avem \( x\ \vdots\ K \), dar cum si \( y\ \vdots\ K \) rezulta \( K=1 \)(poate fi si \( K=-1 \) dar folosim doar varianta \( K=1 \)), de unde y=t;
Astfel, avem \( z^2+t^2=x^2 \), deci \( z,t,x \) sunt numere pitagoreice si deci exista \( m,n\in\mathbb{Z} \) astfel incat \( z=m^2-n^2 \) \( t=2mn \) \( x=m^2+n^2 \), de unde \( a=\frac{m^2+n^2}{2mn} \) \( b=\frac{m^2-n^2}{2mn} \)
Astfel, obtinem ca orice matrice de forma \( A=\left(\matrix{\frac{m^2+n^2}{2mn}&\frac{m^2-n^2}{2mn}\cr \frac{m^2-n^2}{2mn}&\frac{m^2+n^2}{2mn}}\right) \) este in G.
Astfel, s-a rezolvat si punctul e), pentru ca exista o infinitate de matrici de forma A.