Patrate de forma speciala

[Filip Chindea]

Fie \( x, y \in \mathbb{N} \) cu \( xy + x + y \) patrat perfect. Sa se arate ca exista \( z \in \mathbb{N} \) astfel ca

\( yz + y + z,\ zx + z + x,\ xy + z,\ yz + x, \)
\( zx + y,\ xy + yz + zx,\ xy + yz + zx + x + y + z \)

sunt toate patrate.

[ Kvant M1799 si Teste tip OIM 2008 - Problema 2/Test 6 ]

[Vlad Matei]

Ideea e ca putem lua \( z=x+y+2t+1 \) unde \( x+y+xy=t^{2} \). Prima data am pus \( z=x+y+k \) si de acolo am vazut ca merge \( k=2t+1 \).

[Filip Chindea]

Curioase identitatile astea. Ideea era ca din \( (x+1)(y+1) = t^2 + 1 \) se deduce aplicand lema asta ca \( x + 1 = a^2 + b^2,\ y + 1 = c^2 + d^2,\ t = ac + bd,\ ad - bc = 1 \) si apoi luam \( z := (a - c)^2 + (b - d)^2 \).