Sa se arate ca nu exista întregi pozitivi \( p, q \) care satisfac \( p^2 - q > 0 \), \( q^2 - p > 0 \) si, de-asemenea, \( 2^{p^2-q}=q^2-p \).
[Adrian Stoica si Cristian Alexandrescu, RMO Shortlist 2006, clasa a-VIII-a]
Ecuatie non-standard
Moderators: Laurian Filip, Filip Chindea, maky, Cosmin Pohoata
-
Filip Chindea
- Newton
- Posts: 324
- Joined: Thu Sep 27, 2007 9:01 pm
- Location: Bucharest
Ecuatie non-standard
Life is complex: it has real and imaginary components.
-
Marius Mainea
- Gauss
- Posts: 1077
- Joined: Mon May 26, 2008 2:12 pm
- Location: Gaesti (Dambovita)
Caz 1) \( q=2^s \). Atunci \( 2^{2s-2}<q^2-p<2^{2s} \) si deci \( q^2-p \) nu poate fi o putere para a lui 2.(\( q\geq p \))(demonstrati)
Caz 2) \( 2^s<q<2^{s+1} \). Atunci \( 2^s+1\leq q<2^{s+1} \) si de aici prin ridicare la patrat si scaderea lui p avem:
\( 2^{2s}<2^{2s}+1=(2^s+1)^2-2^{s+1}< q^2-q\leq q^2-p<2^{2s+2} \) deoarece \( q\geq p \)(demonstrati) si iarasi \( q^2-p \) nu poate fi o putere para a lui 2.
Caz 2) \( 2^s<q<2^{s+1} \). Atunci \( 2^s+1\leq q<2^{s+1} \) si de aici prin ridicare la patrat si scaderea lui p avem:
\( 2^{2s}<2^{2s}+1=(2^s+1)^2-2^{s+1}< q^2-q\leq q^2-p<2^{2s+2} \) deoarece \( q\geq p \)(demonstrati) si iarasi \( q^2-p \) nu poate fi o putere para a lui 2.