Suma de combinari

[Beniamin Bogosel]

Daca \( p \) este un numar prim mai mare decat 3 si \( k=\left[\frac{2p}{3}\right] \), demonstrati ca \( \left(\matrix{p\\ 1}\right)+\left(\matrix{p\\ 2 }\right)+ \cdots +\left(\matrix{p\\ k}\right) \) se divide cu \( p^2 \).

[Filip Chindea]

Hint. Utilizati implicatiile simple \( j \in \overline{1, p - 1} \Rightarrow p | {p \choose j} \), iar pentru \( b | a \), \( p \) nu divide \( b \), rezulta \( \frac{a}{b} \equiv ab^{-1} \pmod{p} \).

Pentru o solutie completa, vezi Gica & Panaitopol (ed. Gil).