Fie \( ABCD \) un patrulater convex. Notam \( O \in AC \cap BD \), \( P \in AB \cap CD \), \( Q \in BC \cap DA \) si \( R \) proiectia ortogonala a lui \( O \) pe dreapta \( PQ \). Fie, in continuare, \( R_A, \ R_B, \ R_C, \ R_D \) proiectiile \( R \) pe \( AB, \ BC, \ CD \) respectiv \( DA \). Sa se arate ca \( R_A, \ R_B, \ R_C, \ R_D \) sunt conciclice.
[TST IV 2008, Problema 1]
Proprietate a patrulaterului complet
Moderators: Laurian Filip, Filip Chindea, maky, Cosmin Pohoata, Virgil Nicula
-
Filip Chindea
- Newton
- Posts: 324
- Joined: Thu Sep 27, 2007 9:01 pm
- Location: Bucharest
Proprietate a patrulaterului complet
Life is complex: it has real and imaginary components.
-
Filip Chindea
- Newton
- Posts: 324
- Joined: Thu Sep 27, 2007 9:01 pm
- Location: Bucharest
Are cineva sursa? (vad ca mi s-au modificat cateva post-uri, poate se stie si la problema asta).
Solutie. Din angle-chasing \( R_AR_CR_BR_D \) ciclic \( \Leftrightarrow \angle ORA = \angle ORC \). Dar \( OR \perp PQ \) si daca \( S \in AC \cap EF \) atunci \( (A, C, O, S) \) armonica (Pappus), si conform unei teoreme cunoscute rezulta concluzia. \( \qed \)
Solutie. Din angle-chasing \( R_AR_CR_BR_D \) ciclic \( \Leftrightarrow \angle ORA = \angle ORC \). Dar \( OR \perp PQ \) si daca \( S \in AC \cap EF \) atunci \( (A, C, O, S) \) armonica (Pappus), si conform unei teoreme cunoscute rezulta concluzia. \( \qed \)
Life is complex: it has real and imaginary components.