Inegalitate non-standard

[Filip Chindea]

Fie un întreg impar \( n \ge 3 \). Determinati maximul sumei

\( f(x_1, ..., x_n) := \sum_{k=1}^n \sqrt{|x_k - x_{k+1}|} \),

unde \( x_1, ..., x_n \in [0, 1], \ x_{n+1} := x_1 \).

[TST II 2008, Problema 1 American Mathematical Monthly]

[Marius Dragoi]

\( \sum_{k=1}^{n} {\sqrt {|x_{k+1} - x_k|}} \) \( \leq \) \( \sqrt {n (\sum_{k=1}^{n} {|x_{k+1}-x_k|})} \) \( = \) \( \sqrt {n [\sum_{k=1}^{n} {\max {(x_{k+1},x_k)} - \sum_{k=1}^{n} {\min {(x_{k+1},x_k)}]} \)

Maximul ar trebui sa se obtina pentru : \( \max {(x_{1},x_2)}=...= \max {(x_{2t+1},x_1)}=1 \) si \( \min {(x_1,x_2)}=...=\min {(x_{2t+1},x_1)} = 0 \)
unde \( n=2t+1 \) cu \( t \in N* \)
Fie \( x_i=1 \) unde \( i \in \{1,...,n \} \)
Daca \( x_{i+1}=1 \) atunci \( \min {(x_{i+1},x_i)} = 1 \) \( \Rightarrow \) \( x_{i+1}=0 \)
Continuand procedeul , obtinem ca : \( x_{i+1}= x_{i+3}= ...=x_{i+2k+1}=0 \) si \( x_i=x_{i+2}=...=x_{i+2k}=1 \) unde \( k \in N \) ,
adica t numere sunt 1 si t+1 sunt 0 sau invers:
\( x_1=x_3=...=x_{2t+1}=1 \) si \( x_2=x_4=...=x_{2t}=0 \) sau
\( x_1=...=x_{2t+1}=0 \) si \( x_2=...=x_{2t}=1 \).
In ambele cazuri se obtine maximul : \( \sqrt {2t(2t+1)} \) \( = \) \( \sqrt {n(n-1)} \)

[Vlad Matei]

Calculând pentru ce ai spus ca da maximul o sa obtii \( n-1 \). Trebuie aratat ca punctul optim este de genul \( (x,0,1,..,0,1) \) de unde maximul va fi \( n-2+\max(\sqrt{x}+\sqrt{1-x}) \). Asadar maximul va fi \( n-2+\sqrt{2} \).

[Marius Dragoi]

Da...ai dreptate...se pare ca s-a strecurat o mica greseala in solutia mea. Oricum ideea de rezolvare cam asta ar fi.

[Filip Chindea]

Oricum ideea de rezolvare cam asta ar fi.

In mare, da, numai ca ai gresit la primul rând.
Ideea este sa studiezi variatia expresiei în cazul variatiei unei singure variabile, sa zicem \( x_2 \), \( x_1 < x_2 < x_3 \), pe intervale \( [0, x_1], [x_1, x_3], [x_3, 1] \). Dupa calcule plictisitoare, obtii o anumita structura a secventei \( (x_1, ..., x_n) \), si punând conditia \( n \) impar, punctele de extrem \( (0, 1, 0, 1...; 0, 1, 1/2), \ (0, 1, 0, 1...; 0, 1/2, 1) \) si permutarile ciclice, iar maximul \( n - 2 + \sqrt{2} \).
De altfel, tocmai acestea fac rezultatul suficient de provocator (parerea mea) pentru problema 1.

PS. Nu s-a mai dat cam de multisori ani o inegalitate la Baraje care sa rezulte direct din... Cauchy sau AM-GM