Doua matrice care nu au valori proprii in comun

[Beniamin Bogosel]

Fie \( A,B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C}) \) doua matrici care nu au valori proprii in comun.
a) Sa se arate ca ecuatia \( AX=XB,\ X \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C}) \) are doar solutia \( X=0 \).
b) Sa se arate ca ecuatia \( AX-XB=C,\ X \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C}) \) are solutie unica pentru orice matrice \( C \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C}) \).

[Radu Titiu]

a)
Se arata usor ca \( A^kX=XB^k \) pentru orice k natural. De aici rezulta
\( O_n=f_A(A)X=Xf_A(B) \).
Dar \( f_A(B) \) este inversabila (deoarece aceste doua matrice nu au valori proprii comune). Astfel obtinem solutia unica \( X=0 \).

b)
Presupunem ca exista \( X_1 \) si \( X_2 \) diferite care satisfac relatia data. De aici deducem \( AX_1-X_1B=AX_2-X_2B \), echivalent cu
\( A(X_1-X_2)-(X_1-X_2)B=O_n \), de unde, din punctul anterior deducem \( X_1-X_2=O_n \), contradictie.