Fie matricea \( A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C}) \). Sa se arate ca \( A \) este nilpotenta daca si numai daca \( \mbox{tr}\, A^k=0 \), oricare ar fi \( k>0 \) natural.
Concursul National Traian Lalescu 2008
tr(A^k)=0 iff A nilpotenta - Traian Lalescu pb 1
-
Cezar Lupu
- Site Admin
- Posts: 612
- Joined: Wed Sep 26, 2007 2:04 pm
- Location: Bucuresti sau Constanta
- Contact:
-
Tiberiu Popa
- Euclid
- Posts: 19
- Joined: Thu Oct 04, 2007 1:32 am
Nu mai stiam eu care era identitatea lui Newton, dar cealalta solutie "hiper"-clasica e ceva in genu' (problema totusi n-a atins culmile inalte ale originalitatii): Iei \( \mu_1, \ldots, \mu_m \) val. proprii distincte ale lui \( A \), de unde iti iese \( \sum a_i \mu_i^k = 0 \) (\( a_i \) sunt multiplicitatile algebrice). Apoi faci un det. Vandermonde cu \( \mu_i^k \), care trebuie sa dea 0, deci exista un \( \mu_i \) egal cu 0; in continuare ramane de facut o inductie.
-
Beniamin Bogosel
- Co-admin
- Posts: 710
- Joined: Fri Mar 07, 2008 12:01 am
- Location: Timisoara sau Sofronea (Arad)
- Contact:
Pentru implicatia \( A \) nilpotenta rezulta \( \tr(A^k)=0,\ \forall k>0 \), demonstram ca toate valorile proprii ale lui \( A \) sunt 0.
Pentru asta presupunem ca ar exista o valoare proprie \( \alpha\neq 0 \) si \( Y \) un vector propriu nenul asociat acestei valori proprii.
Atunci \( AY=\alpha Y \) si \( \alpha A^{p-1}Y=A^pY \), unde \( p \) este cel mai mic numar mai mare decat \( 1 \) pentru care \( A^p=0 \). Pentru ca \( \alpha \neq 0 \) rezulta ca si \( A^{p-1}Y=0 \) s.a.m.d. pana cand \( AY=0=\alpha Y \). Contradictie!
Pentru asta presupunem ca ar exista o valoare proprie \( \alpha\neq 0 \) si \( Y \) un vector propriu nenul asociat acestei valori proprii.
Atunci \( AY=\alpha Y \) si \( \alpha A^{p-1}Y=A^pY \), unde \( p \) este cel mai mic numar mai mare decat \( 1 \) pentru care \( A^p=0 \). Pentru ca \( \alpha \neq 0 \) rezulta ca si \( A^{p-1}Y=0 \) s.a.m.d. pana cand \( AY=0=\alpha Y \). Contradictie!