Inegalitatea lui Schur pentru valorile proprii

[bogdanl_yex]

Fie \( A \in M_{n}(\mathbb{C}) \). Aratati ca are loc inegalitatea: \( \sum_{i=1}^n{|\lambda_{i}|^{2}} \leq \sum_{i,j=1}^n{|a_{ij}|^{2}} \), unde \( \lambda_{i} \) sunt valorile proprii ale matricei \( A \) iar \( a_{ij} \) elementele matricei \( A \).

[Bogdan Posa]

Folosind descompunerea Schur ( http://en.wikipedia.org/wiki/Schur_decomposition ) si tinand cont ca \( \sum_{i,j=1}^n{|a_{ij}|^{2}} \) nu se modifica facand transformari unitare, totul se reduce la a demonstra aceasta problema pentru matrice superior triunghiulare (iar in acest caz este trivial).

Cred ca exista si o solutie mai usoara (sau mai accesibila clasei a XI-a). A se observa ca \( \sum_{i,j=1}^n{|a_{ij}|^{2}}=Tr(A* A) \) , unde \( A* = (\overline A )^T \) hmmm... ma mai gandesc

Inca doua inegaltitati asemanatoare http://mathworld.wolfram.com/SchursInequalities.html