[0,1] este multime conexa
Moderators: Mihai Berbec, Liviu Paunescu
-
Beniamin Bogosel
- Co-admin
- Posts: 710
- Joined: Fri Mar 07, 2008 12:01 am
- Location: Timisoara sau Sofronea (Arad)
- Contact:
[0,1] este multime conexa
Demonstrati ca \( [0,1] \) nu se poate scrie ca reuniunea a doua multimi inchise disjuncte si nevide.
-
Beniamin Bogosel
- Co-admin
- Posts: 710
- Joined: Fri Mar 07, 2008 12:01 am
- Location: Timisoara sau Sofronea (Arad)
- Contact:
Vreau sa verific daca este buna solutia mea...
Presupunem ca \( [0,1]=A\cup B \), cu \( A\cap B=\emptyset, A=\bar A, B=\bar B \).
Fie \( x_0 \in A\setminus \{0,1\} \). (cazul \( A\subseteq \{0,1\} \) se exclude pentru ca atunci ar rezulta \( B=(0,1) \), sau o alta multime care nu este inchisa)
Deoarece \( x_0\notin B=\bar B \), rezulta ca exista \( \varepsilon >0 \) pentru care \( (x_0-\varepsilon,x_0+\varepsilon)\cap B=\emptyset \). Deoarece \( x_0 \in [0,1] \), rezulta ca putem alege \( \varepsilon \) destul de mic pentru ca \( (x_0-\varepsilon,x_0+\varepsilon)\subset (0,1) \), adica \( (x_0-\varepsilon, x_0+\varepsilon)\subset A \). De aici rezulta ca \( x_0 \) este punct interior pentru \( A \).
Deci \( (A\setminus \{0,1\})\subset A\limits^{\circ} \). Cum 1 si 0 nu sunt interioare lui \( A \) rezulta ca \( A\limits^{\circ}=A\setminus \{0,1\} \). Deoarece \( \inf A, \sup A \in A \), avem:
- daca \( \inf A \neq 0 \), atunci \( \inf A \in A\setminus \{0,1\} =A\limits^{\circ} \). Contradictie!
Analog, daca \( \sup A\neq 1 \), atunci \( \sup A \in A\limits^{\circ} \). Contradictie! Deci \( \{0,1\} \subset A \).
Repetam acelasi rationament pentru \( B \) si obtinem ca intersectia lor este nevida. Contradictie!
Presupunem ca \( [0,1]=A\cup B \), cu \( A\cap B=\emptyset, A=\bar A, B=\bar B \).
Fie \( x_0 \in A\setminus \{0,1\} \). (cazul \( A\subseteq \{0,1\} \) se exclude pentru ca atunci ar rezulta \( B=(0,1) \), sau o alta multime care nu este inchisa)
Deoarece \( x_0\notin B=\bar B \), rezulta ca exista \( \varepsilon >0 \) pentru care \( (x_0-\varepsilon,x_0+\varepsilon)\cap B=\emptyset \). Deoarece \( x_0 \in [0,1] \), rezulta ca putem alege \( \varepsilon \) destul de mic pentru ca \( (x_0-\varepsilon,x_0+\varepsilon)\subset (0,1) \), adica \( (x_0-\varepsilon, x_0+\varepsilon)\subset A \). De aici rezulta ca \( x_0 \) este punct interior pentru \( A \).
Deci \( (A\setminus \{0,1\})\subset A\limits^{\circ} \). Cum 1 si 0 nu sunt interioare lui \( A \) rezulta ca \( A\limits^{\circ}=A\setminus \{0,1\} \). Deoarece \( \inf A, \sup A \in A \), avem:
- daca \( \inf A \neq 0 \), atunci \( \inf A \in A\setminus \{0,1\} =A\limits^{\circ} \). Contradictie!
Analog, daca \( \sup A\neq 1 \), atunci \( \sup A \in A\limits^{\circ} \). Contradictie! Deci \( \{0,1\} \subset A \).
Repetam acelasi rationament pentru \( B \) si obtinem ca intersectia lor este nevida. Contradictie!