Matrice similare

[maky]

Fie \( A,B \in M_n(\mathbb{R}) \) doua matrice cu proprietatea ca exista \( P \in M_n(\mathbb{C}) \) inversabila astfel incat \( AP=PB \). Sa se arate ca exista o matrice \( Q \in M_n(\mathbb{R}) \) inversabila astfel incat \( AQ=QB \).

[aleph]

Fie \( A,B \in M_n(\mathbb{R}) \) doua matrice cu proprietatea ca exista \( P \in M_n(\mathbb{C}) \) inversabila astfel incat \( AP=PB \). Sa se arate ca exista o matrice \( Q \in M_n(\mathbb{R}) \) inversabila astfel incat \( AQ=QB \).

Fie \( P_1,P_2 \in M_n(\mathbb{R}) \) cu \( P = P_1+iP_2 \). Rezultă \( AP_1=P_1B,\ AP_2 = P_2B \).
Vom putea alege \( Q = P_1 + r P_2 \) cu \( r \in \mathbb{R} \) dacă \( \det(Q) \ne 0 \). Un \( r \) care să realizeze acest lucru există, deoarece polinomul \( p(x)=\det (P_1 + x P_2) \) nu este nul (\( p(i)=\det(P) \ne 0 \)).

Cei "foarte motivaţi" pot găsi tratat cazul corpurilor generale în:
Roman S. - Advanced Linear Algebra. Springer 2008, theorem 7.20.