Horrocks - criteriu de splitare

[Mihai Fulger]

Fie E un fibrat vectorial pe \( \mathbb P^n \).
Atunci E este suma directa de fibrati in drepte daca si numai daca \( H^i(E(k))=0 \) pentru toti \( k\in\mathbb Z \) si \( i=\overline{1,n-1} \).

[Vader]

In afara de demonstratia 'standard" care e cat se poate de accesibila (inductie dupa n; a se vedea de exemplu cartea lui Ch. Okonek/M. Schneider/H. Spindler) merita spus cate ceva si in alta directie. Fie \( R=k[X_0,\dots, X_n] \) inelul de coodonate al spatiului proiectiv, vazut ca inel graduat cu graduarea naturala, si fie M R-modulul graduat corespunzator unui fibrat $E$ care satisface ipoteza. Atunci utilizand coomologie locala (cf. e.g. Hartshorne, sau direct Grothendieck) se poate arata ca M este un R-modul Cohen-Macaulay de dimensiune maxima. Din teorema Auslander-Buchsbaum-Serre rezulta atunci ca M este liber - echivalent, ca E este splitat. Desigur, se poate obiecta ca enuntul original al teoremei Auslander-Buchsbaum-Serre este valabil doar pentru inele locale regulte, dar R este un "star-inel local regulat" si teorema ramane valabila; a se vedea Bruns-Herzog, "Cohen-Macaulay rings" pentru "star local rings" si paralelismul cu inele locale negraduate.

In plus, se mai poate da o a treia demonstratie utilizand regularitate Castelnuovo-Mumford; a se vedea in acest sens articolul lui L. Ein, "An analogue of a Theorem of Max Noether" (cred ca asta era titlul), unde se redemonstreaza in acest mod un criteriu de splitare ceva mai "tare", asa numitul "criteriu de splitare Evans-Griffith".