Fie \( ABC \) ascutitunghic, iar \( \omega \) si \( \Gamma \) incercul, respectiv cercul circumscris. Cercul \( \omega_A \) este tangent intern la \( \Gamma \) in \( A \) si extern la \( \omega \) in \( A_1 \). Efectuam constructii analoage substituind pe \( A \) prin \( B \) si \( C \).
Aratati ca \( AA_1, \ BB_1 \) si \( CC_1 \) sunt concurente.
Concursul "La scoala cu ceas", 2008, Problema 2
Clasica - trei cercuri tangente
Moderators: Laurian Filip, Filip Chindea, maky, Cosmin Pohoata, Virgil Nicula
-
Filip Chindea
- Newton
- Posts: 324
- Joined: Thu Sep 27, 2007 9:01 pm
- Location: Bucharest
Clasica - trei cercuri tangente
Life is complex: it has real and imaginary components.
omotetia care il duce pe \( \omega_a \) in \( \Gamma \) are centru \( A \), iar omotetia care il duce pe \( \omega \) in \( \omega_a \) are centru \( A_1 \), deci compunerea lor (care este omotetie) are centrul pe \( AA_1 \).
dar aceasta omotetie este cea care il duce pe \( \omega \) in \( \Gamma \) , care are un centru fix \( K \) (ce nu depinde de alegerea lui \( A \) dintre varfurile triunghiului).
analog celelalte, deci \( K \in AA_1 \cap BB_1 \cap CC_1 \).
dar aceasta omotetie este cea care il duce pe \( \omega \) in \( \Gamma \) , care are un centru fix \( K \) (ce nu depinde de alegerea lui \( A \) dintre varfurile triunghiului).
analog celelalte, deci \( K \in AA_1 \cap BB_1 \cap CC_1 \).