Problema cu matrice (IMC 2000)

[Centea Andrei]

Fie A si B doua matrici patratice cu elemente numere complexe, de acelasi grad, astfel rang(AB-BA)=1. Sa se arate ca (AB-BA)^2=0

[Radu Titiu]

Notez \( M=AB-BA \). Deoarece \( rang(M)=1 \) exista \( L \in \mathcal{M}_{1,n}(\mathbb{C}) \) si \( C \in \mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{C}) \) a.i. \( M=CL \). De aici deducem \( M^2=aM \), unde \( a=LC \in \mathbb{C} \). Rezulta ca polinomul minimal al matricei M este \( X^2-aX \). Asadar valorile proprii ale matricei M se gasesc in multimea {0,a}.
Deci \( 0=\tr(M)=k\cdot a \), unde k este multiplicitatea algebrica a lui \( a \). Din ultima relatie deducem \( a=0 \). Deci polinomul minimal al matricei M este \( X^2 \) de unde rezulta concluzia.