JBTST IV 2007, Problema 4

[Laurian Filip]

Sa se determine toate numerele naturale nenule \( n \) care se pot scrie sub forma

\( n=[a,b]+[b,c]+[c,a] \)

cu \( a,b,c \) naturale nenule.

[Aelius Pop]

Fie \( a=2^xm \) ;m impar
\( b=2^yn \) ;n impar
\( c=2^zp \) ;p impar
Deoarece relatia este simetrica putem presupune fara a reduce din generalitatea problemei ca \( x \leq y \leq z \)

\( N=2^y[m;n]+2^z[n;p]+2^z[m;p] \)

[m;n];[n;p];[m;p] impare
\( N=2^d+2^ze+2^zf \); d,e,f impare
\( N=2^y[d+2^{z-y}(e+f )] \)
\( d \) impar
\( 2^{z-y}(e+f) \) par

=>\( [d+2^{z-y}(e+f )] \) este impar
=>\( N=2^y(2k+1) \) \( k\in \mathbb{N^*} \)
Deci \( N \in \mathbb{N}^*-\lbrace2^q|q\in \mathbb{N}\rbrace \)
Luam z=y si gasim m;n;p astfel incat N sa fie orice nr care nu e putere a lui 2.