Orice nr. este rest p. mod o infinitate de prime
Moderators: Laurian Filip, Filip Chindea, maky, Cosmin Pohoata
Orice nr. este rest p. mod o infinitate de prime
Pentru orice \( a \in \mathbb{N} \) exista o infinitate de numere prime \( p \) astfel incat \( a \) este rest patratic modulo \( p \).
-
Filip Chindea
- Newton
- Posts: 324
- Joined: Thu Sep 27, 2007 9:01 pm
- Location: Bucharest
Aceasta situatie este un caz particular al problemei propuse aici. Voi prezenta aici o solutie personala, fiind posibil sa mai apara si alte contributii la acest topic.
Faptul ca \( \left\{x^2 - a\right\}_{x \in \mathbb{N}} \) are o multime infinita de factori primi este, de fapt, echivalent cu enuntul dat.
Sa presupunem, prin contrariu, ca aceasta afirmatie cade. Fie \( p_1,...,p_r \) prime distincte, astfel încât pentru orice \( x \in \mathbb{N} \), exista \( \alpha_{1,...,r}(x) \in \mathbb{N}_0 \), pentru care
\( x^2 - p_1^{\alpha_1(x)}\cdots p_r^{\alpha_r(x)} = a \).
In particular, acest lucru este adevarat pentru \( x = y^3 \), si punând \( s = y^2 \), \( \alpha_i(x) = 3\beta_i(x) + \rho_i(x) \), \( \rho_i(x) \in \overline{0,2} \), va exista, din principiul cutiei, un coeficient fixat \( k = p_1^{\rho_1} \cdots p_r^{\rho_r} \), \( \rho_i \in \overline{0,2} \) si o infinitate de \( x \) cu respectivele \( t := p_1^{\beta_1(x)}\cdots p_r^{\beta_r(x)} \), astfel încât
\( s^3 - kt^3 = a \),
ceea ce, conform lemei lui Thue (v. discutia de aici), este imposbil.
Evident ca este lipsit de importanta daca luam în considerare resturi patratice sau mai generalele resturi ale unei puteri a \( k \)-a.
Faptul ca \( \left\{x^2 - a\right\}_{x \in \mathbb{N}} \) are o multime infinita de factori primi este, de fapt, echivalent cu enuntul dat.
Sa presupunem, prin contrariu, ca aceasta afirmatie cade. Fie \( p_1,...,p_r \) prime distincte, astfel încât pentru orice \( x \in \mathbb{N} \), exista \( \alpha_{1,...,r}(x) \in \mathbb{N}_0 \), pentru care
\( x^2 - p_1^{\alpha_1(x)}\cdots p_r^{\alpha_r(x)} = a \).
In particular, acest lucru este adevarat pentru \( x = y^3 \), si punând \( s = y^2 \), \( \alpha_i(x) = 3\beta_i(x) + \rho_i(x) \), \( \rho_i(x) \in \overline{0,2} \), va exista, din principiul cutiei, un coeficient fixat \( k = p_1^{\rho_1} \cdots p_r^{\rho_r} \), \( \rho_i \in \overline{0,2} \) si o infinitate de \( x \) cu respectivele \( t := p_1^{\beta_1(x)}\cdots p_r^{\beta_r(x)} \), astfel încât
\( s^3 - kt^3 = a \),
ceea ce, conform lemei lui Thue (v. discutia de aici), este imposbil.
Evident ca este lipsit de importanta daca luam în considerare resturi patratice sau mai generalele resturi ale unei puteri a \( k \)-a.
Life is complex: it has real and imaginary components.
-
Edgar Dobriban
- Euclid
- Posts: 10
- Joined: Sat Apr 05, 2008 12:47 pm
O solutie care foloseste simbolul lui Legendre.
Fie \( a=2^l {p_1}\dots {p_k} \) unde \( p_i \) sunt numere prime impare nu neaparat distincte.
Exista o infinitate de numere prime de forma \( p=n \cdot 8{p_1}\dots {p_k} +1 \) (moderator edit: citeaza-ti "sursele", te rog - Teorema lui Dirichlet!)
Pentru un astfel de p, avem
\( \left( \frac{2}{p}\right)=(-1)^{\frac{p^2-1}{8}}=(-1)^{2v}=1 \)
\( \left(\frac{p_i}{p}\right)\left(\frac{p}{p_i}\right)=(-1)^{\frac{p_i-1}{2}\frac{p-1}{2}=(-1)^{2u}=1 \) si \( \left(\frac{p}{p_i}\right)=\left(\frac{1}{p_i}\right)=1 \)
Deci \( \left( \frac{a}{p}\right)=\left( \frac{2}{p}\right)^l\left( \frac{p_1}{p}\right)\dots\left( \frac{p_k}{p}\right)=1 \)
Fie \( a=2^l {p_1}\dots {p_k} \) unde \( p_i \) sunt numere prime impare nu neaparat distincte.
Exista o infinitate de numere prime de forma \( p=n \cdot 8{p_1}\dots {p_k} +1 \) (moderator edit: citeaza-ti "sursele", te rog - Teorema lui Dirichlet!)
Pentru un astfel de p, avem
\( \left( \frac{2}{p}\right)=(-1)^{\frac{p^2-1}{8}}=(-1)^{2v}=1 \)
\( \left(\frac{p_i}{p}\right)\left(\frac{p}{p_i}\right)=(-1)^{\frac{p_i-1}{2}\frac{p-1}{2}=(-1)^{2u}=1 \) si \( \left(\frac{p}{p_i}\right)=\left(\frac{1}{p_i}\right)=1 \)
Deci \( \left( \frac{a}{p}\right)=\left( \frac{2}{p}\right)^l\left( \frac{p_1}{p}\right)\dots\left( \frac{p_k}{p}\right)=1 \)
Daca \( (n,a)=1 \), atunci pentru orice factor prim \( p \) al lui \( n^2-a \) rezulta ca \( a \) este rest patratic modulo \( p \). Alegand pe \( n \) suficient de mare si prim cu \( a \), va exista un astfel de prim.
Presupunem acum ca \( p_1,\ldots,p_r \) sunt toate aceste prime. Atunci insa este evident ca \( (p_1\cdots p_r)^2-a \) ne da un nou prim pentru care \( a \) este rest patratic.
PS Demonstratia lui Euclid a infinitatii numerelor prime este una dintre cele mai frumoase si pline de resurse demonstratii din matematica elementara.
Presupunem acum ca \( p_1,\ldots,p_r \) sunt toate aceste prime. Atunci insa este evident ca \( (p_1\cdots p_r)^2-a \) ne da un nou prim pentru care \( a \) este rest patratic.
PS Demonstratia lui Euclid a infinitatii numerelor prime este una dintre cele mai frumoase si pline de resurse demonstratii din matematica elementara.