Limita integrala

[bae]

Fie \( f:[0,1]\to\mathbb{R} \) o functie continua pe \( [0,1] \) si crescatoare, derivabila si cu derivata marginita pe un subinterval \( [0,a] \), \( a\leq 1 \). Sa se arate ca oricare ar fi \( r>1 \) si \( s\in(0,r-1) \) avem \( \lim_{x\to\infty}x^s\int_0^1e^{-x^rf(t)}dt=0 \).

Concurs Gr. Moisil, 2006

[Edgar Dobriban]

Fie \( f:[0,1]\to\mathbb{R} \) o functie crescatoare, derivabila si cu derivata marginita. Sa se arate ca oricare ar fi \( r>1 \) si \( s\in(0,r-1) \) avem
\( \lim_{x\to\infty}x^s\int_0^1e^{-x^rf(t)}dt=0 \).

Concurs Gr. Moisil 2006

Daca \( f(x)=0, \forall x\in[0,1] \) atunci \( e^{-x^rf(t)}=1, \forall t\in[0,1] \), deci \( \lim_{x\to\infty}x^s\int_0^1e^{-x^rf(t)}dt=\lim_{x\to\infty}x^s=\infty \)

Am inteles ceva gresit?

[bae]

Probabil ca nu!

Problema a fost data intai la un concurs in 2005 si acolo era \( f=\arcsin \). Acelasi autor s-a gandit insa sa dea o generalizare un an mai tarziu si ceea ce am postat eu este generalizarea. Sa incercam atunci cu arcsin, poate merge asa!

[aleph]

O condiţie suficientă care să asigure concluzia este: f continuă, \( 0<s<r \) şi există \( K>0 \) astfel încât \( f(t) \ge Kt \).

Verificarea este imediată integrând inegalitatea rezultată din monotonia funcţiei exponenţiale. f = arcsin verifică inegalitatea pentru K=1.

De notat că o condiţie necesară pentru f este f > 0 a.p.t. (dacă s>0).