Fie P un polinom cu coeficienti intregi, de grad \( n\geq1 \). Sa se arate ca multimea numerelor prime care divid cel putin unul din numerele \( P(1),\ P(2),\ \dots \) este infinita.
Concursul “Grigore Moisil” 2008, Problema 4
Exista o inf. de nr. prime care divid unul din P(1),P(2),...
Moderators: Bogdan Posa, Beniamin Bogosel, Marius Dragoi
-
Edgar Dobriban
- Euclid
- Posts: 10
- Joined: Sat Apr 05, 2008 12:47 pm
-
Edgar Dobriban
- Euclid
- Posts: 10
- Joined: Sat Apr 05, 2008 12:47 pm
Este si adevarata si cunoscuta, dar mai trebuia si demonstrata, nu? 
Hai sa o postam ca problema, poate o si rezolva cineva. http://mateforum.ro/viewtopic.php?p=4339#4339
Hai sa o postam ca problema, poate o si rezolva cineva. http://mateforum.ro/viewtopic.php?p=4339#4339
-
Edgar Dobriban
- Euclid
- Posts: 10
- Joined: Sat Apr 05, 2008 12:47 pm
O solutie simpla, auzita de la un coleg:
Fie \( P=a_0 + \dots +a_{n}x^n \). Daca \( a_0=0 \) atunci este evident, iar daca nu este 0, atunci fie \( p_1 \dots {p_k} \) toate numerele prime ce divid cel putin unul din \( P(1),\ P(2),\ \dots \). Dar \( P(a_0p_1\dots p_k)=a_0(1+up_ 1\dots p_k) \) deci \( P(a_0p_1\dots p_k) \) are un factor prim diferit de \( p_1, \dots, p_k \).
Fie \( P=a_0 + \dots +a_{n}x^n \). Daca \( a_0=0 \) atunci este evident, iar daca nu este 0, atunci fie \( p_1 \dots {p_k} \) toate numerele prime ce divid cel putin unul din \( P(1),\ P(2),\ \dots \). Dar \( P(a_0p_1\dots p_k)=a_0(1+up_ 1\dots p_k) \) deci \( P(a_0p_1\dots p_k) \) are un factor prim diferit de \( p_1, \dots, p_k \).