Inegalitate cu rang si exista matrice inversabila

[Madalina]

Fie \( A,\ B\ \in M_{n}(\mathbb{R}) \). Sa se arate ca \( rang\ A\ +\ rang\ B\ \leq\ n \) daca si numai daca exista o matrice inversabila \( X\ \in\ M_{n}(\mathbb{R}) \) astfel incat \( AXB\ =\ O_{n} \).

***, Olimpiada Judeteana 2008

[Beniamin Bogosel]

O implicatie rezulta din teorema lui Sylvester:
\( rang(A)+rang(B)=rang(A)+rang(XB)-rang(AXB)\leq n \)
\( \Rightarrow rang(A)+rang(B)\leq n. \)

Este cunoscut ca daca \( X \) este inversabila, atunci \( rang(B)=rang(XB) \).
Dem:
\( rang(XB)\leq rang(B) \)
\( rang(B)=rang(X^{-1}XB)\leq rang(XB) \)

[Beniamin Bogosel]

Cealalta implicatie:

Fie \( A,B,\ rang(A)=r_a,\ rang(B)=r_b \), doua matrice cu suma rangurilor mai mica decit \( n \).
Se stie ca prin transformari elementare se pot aduce matricele \( A,B \) la forma \( \begin{pmatrix}I_{r_a}&0\\0&0\end{pmatrix} \) si \( \begin{pmatrix}0&0\\0&I_{r_b}\end{pmatrix} \). Cum transformarile elementare sunt inmultiri cu matrice patratice inversabile rezulta ca
\( \begin{pmatrix}I_{r_a}&0\\0&0\end{pmatrix}=PAQ \) si \( \begin{pmatrix}0&0\\0&I_{r_b}\end{pmatrix}=RBT \), unde \( P,Q,R,T \) sunt matrice patratice inversabile.
Atunci \( PAQRBT=O_n\Rightarrow A(QR)B=O_n \). Deci matricea cautata este \( X=QR \).

Ar fi bine sa retineti metoda, pentru ca eu am aflat de ea numai dupa ce am trecut de olimpiade si am ratat citeva probleme din cauza asta. Bineinteles ca trebuie sa schitati si o demonstratie cind o folositi. Cred ca o sa postez una.

[Radu Titiu]

Este un articol de C. Mortici in GM 7-8/2003 care trateaza aceasta teorema.