Inegalitate cu module de numere complexe

[Andrei Velicu]

Fie \( a, b \) doua numere complexe. Sa se demonstreze ca \( |1+ab|+|a+b|\geq \sqrt{|a^2-1|\cdot|b^2-1|} \).

***, Olimpiada judeteana 2008

[Beniamin Bogosel]

Problema e chiar simpla, desi nu m-am prins din prima:
\( |1+ab|+|a+b|=\frac{|1+ab|+|a+b|+|1+ab|+|-a-b|}{2}\geq \frac{|(a+1)(b+1)|+|(a-1)(b-1)|}{2}\geq \sqrt{|a^2-1||b^2-1|} \).

Am aplicat medii o data si inegalitatea modulului de 2 ori