M. Piticari, M. Chirita, Etapa judeteana Suceava, 2000 si Etapa judeteana, 2008
Elemente idempotente si elemente inversabile
Moderators: Bogdan Posa, Beniamin Bogosel, Marius Dragoi
Elemente idempotente si elemente inversabile
Fie A un inel comutativ cu un numar impar de elemente. Daca n este numarul solutiilor ecuatiei \( x^2 = x \), \( x\in A \), iar m este numarul elementelor inversabile ale inelului A, sa se arate ca n divide m.
M. Piticari, M. Chirita, Etapa judeteana Suceava, 2000 si Etapa judeteana, 2008
M. Piticari, M. Chirita, Etapa judeteana Suceava, 2000 si Etapa judeteana, 2008
-
Beniamin Bogosel
- Co-admin
- Posts: 710
- Joined: Fri Mar 07, 2008 12:01 am
- Location: Timisoara sau Sofronea (Arad)
- Contact:
Notam cu \( B=\{x \in A:\ x^2=x\} \). Atunci \( n=|B| \) si \( m=|U(A)| \).
\( x \in B \Rightarrow (2x-1)^2=4x^2-4x+1=1 \Rightarrow 2x-1 \in U(A) \).
Deci putem defini functia \( f:B \to U(A),\ f(x)=2x-1 \). Deoarece \( |A| \) este impar, rezulta ca \( 1+1=2 \) este inversabil in \( A \). Deci functia \( f \) este injectiva.
Calculam \( f(x)f(y)=(2x-1)(2y-1)=4xy-2x-2y+1=2(2xy-x-x+1)-1 \).
Calculam \( (2xy-x-y+1)^2= ... =2xy-x-y+1 \), unde am folosit ca \( x^2=x \) si \( y^2=y \)
Deci \( f(x)f(y) \in {\rm Im}f,\ \forall x,y \in B \).
Deoarece \( {\rm Im}f \subseteq U(A) \) si \( a,b \in {\rm Im}f \Rightarrow ab \in {\rm Im}f \) si \( U(A) \) este grup finit, rezulta ca \( {\rm Im}f \leq U(A) \), adica din teorema lui Lagrange \( n|m \).
\( x \in B \Rightarrow (2x-1)^2=4x^2-4x+1=1 \Rightarrow 2x-1 \in U(A) \).
Deci putem defini functia \( f:B \to U(A),\ f(x)=2x-1 \). Deoarece \( |A| \) este impar, rezulta ca \( 1+1=2 \) este inversabil in \( A \). Deci functia \( f \) este injectiva.
Calculam \( f(x)f(y)=(2x-1)(2y-1)=4xy-2x-2y+1=2(2xy-x-x+1)-1 \).
Calculam \( (2xy-x-y+1)^2= ... =2xy-x-y+1 \), unde am folosit ca \( x^2=x \) si \( y^2=y \)
Deci \( f(x)f(y) \in {\rm Im}f,\ \forall x,y \in B \).
Deoarece \( {\rm Im}f \subseteq U(A) \) si \( a,b \in {\rm Im}f \Rightarrow ab \in {\rm Im}f \) si \( U(A) \) este grup finit, rezulta ca \( {\rm Im}f \leq U(A) \), adica din teorema lui Lagrange \( n|m \).