Subgrup de indice finit si puteri de elemente intr-un grup

[bogdanl_yex]

Fie H un subgrup al unui grup G si m un numar natural astfel incat [G:H]=m.
Aratati ca \( g^{m!} \) apartine lui H, oricare ar fi g din G.

[bae]

***

[bogdanl_yex]

Deoarece \( [G:H]=m \) rezulta ca numarul de submultimi disjuncte de forma \( xH \) este \( m \). Fie \( X \) multimea formata din aceste submultimi. Fie \( g \in G \) si functia \( f:X\to X, \) \( f(xH)=gxH \) \( \forall xH \in X \).
Aratam mai intai ca functia este bine definita. Trebuie ca daca \( xH=yH \), atunci \( gxH=gyH \). Dar \( xH=yH\Leftrightarrow y^{-1}x\in H \) iar \( gxH=gyH\Leftrightarrow (gy)^{-1}(gx)\in H \). Dar \( (gy)^{-1}(gx)=y^{-1}x \) si gata.
Aratam acum ca \( f \) este injectiva.
\( f(xH)=f(yH) \Leftrightarrow gxH=gyH \Leftrightarrow (gy)^{-1}gx \in H\Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow y^{-1}x \in H \Leftrightarrow xH=yH \Rightarrow f \) injectiva.
Deoarece \( X \) este multime finita rezulta ca \( f \) este surjectiva, deci bijectiva. Asadar \( f \) este un element al grupului permutarilor multimii \( X \), \( S(X) \). Observam ca \( |S(X)|=m! \), deci din Lagrange avem ca \( f^{m!}=Id_{X} \Rightarrow f^{m!}(xH)=xH \Rightarrow g^{m!}xH=xH \forall x \in G \). Deci si pentru \( x=e \Rightarrow g^{m!}H=H \Rightarrow g^{m!} \in H \).