Inversabilitate intr-un inel

[Alin Galatan]

Daca intr-un inel unitar \( 1-ab \) e inversabil, atunci si \( 1-ba \) e inversabil.

Problema e destul de simpla, dar dupa ce pune cineva o solutie voi posta o metoda gresita, dar foarte interesanta, care va da ideea despre solutia corecta.
Aceasta idee originala a aratat-o domnul profesor Serban Stratila.

[Doru Popovici]

fie u inversul lui 1-ab

fie v=1+bua

v(1-ba)=(1+bua)(1-ba)=1-ba+bua-buaba
dar u(1-ab)=1=> u-uab=1=> uab=u-1

=> v(1-ba)=1-ba+bua-b(u-1)a
=> v(1-ba)=1-ba+bua-bua+ba
=> v(1-ba)=1

analog se arata ca (1-ba)v=1, folosint (1-ab)u=1

=> daca 1-ab este inversabil atunci si 1-ba este inversabil

[aleph]

Daca intr-un inel unitar \( 1-ab \) e inversabil, atunci si \( 1-ba \) e inversabil.

Problema e destul de simpla, dar dupa ce pune cineva o solutie voi posta o metoda gresita, dar foarte interesanta, care va da ideea despre solutia corecta.
Aceasta idee originala a aratat-o domnul profesor Serban Stratila.

O soluţie "incorectă" cunoscută se bazează pe egalitatea
(1 - x)^(-1) = 1 + x + x^2 + ...
[care are loc e.g. într-o algebră Banach cu 1 dacă ||x|| < 1].

(1 - ba)^(-1) = 1 + ba + baba + ... =
1 + b(1 + ab + abab + ...)a =
1 + b (1 - ab)^(-1) a