Patrulater inscriptibil si tr. cu acelasi centru de greutate

[Tudorel Lupu]

Fie \( ABC \) patrulater inscriptibil in plan. Notam cu \( H_{1}, H_{2}, H_{3}, H_{4} \) ortocentrele triunghiurilor \( ABC, BCD, CDA \) respectiv \( DAB \), iar cu \( M, N \) mijloacele diagonalelor \( AC \) respectiv \( BD \). Sa se arate ca daca triunghiurile \( MH_{2}H_{4} \) si \( NH_{1}H_{3} \), au acelasi centru de greutate, atunci patrulaterul \( ABCD \) este dreptunghi.

Cezar Lupu, Olimpiada locala Constanta, 2008

[mihai++]

Dupa o simpla manipulare algebrica a vectorilor \( \vec{A},\vec{B},\vec{C},\vec{D} \) se obtine ca \( \vec{A}+\vec{C}=\vec{B}+\vec{D} \rightarrow ABCD \) paralelogram si cum este si inscriptibil rezulta ca \( ABCD \) e dreptunghi.