Fie \( n\geq 2 \) si \( (a,n)=1 \). Sa se arate ca
\( a^{n-1}+(n-1)! \equiv 0 ( mod n) \) daca si numai daca \( n \) este prim.
Leo Moser
Congruenta modulo n gen Fermat
Moderators: Laurian Filip, Filip Chindea, maky, Cosmin Pohoata
-
Cezar Lupu
- Site Admin
- Posts: 612
- Joined: Wed Sep 26, 2007 2:04 pm
- Location: Bucuresti sau Constanta
- Contact:
Congruenta modulo n gen Fermat
An infinite number of mathematicians walk into a bar. The first one orders a beer. The second orders half a beer. The third, a quarter of a beer. The bartender says “You’re all idiots”, and pours two beers.
-
Filip Chindea
- Newton
- Posts: 324
- Joined: Thu Sep 27, 2007 9:01 pm
- Location: Bucharest
Implicatia inversa este evidenta (Fermat & Wilson-Lagrange).Cezar Lupu wrote:Fie \( n\geq 2 \) si \( (a,n)=1 \). Sa se arate ca
\( a^{n-1}+(n-1)! \equiv 0 \pmod{n} \) daca si numai daca \( n \) este prim.
Leo Moser
Direct, fie prin contradictie un prim \( p | n \), \( p \le n - 1 \). Concluzionam \( p | (n - 1)! \), iar \( p | n | a^{n - 1} + (n - 1)! \). In concluzie \( p | a^{n - 1} \), deci \( p | a \) si \( p | n \), absurd.
Nu cunosc motivatia mentionarii acelui autor - pare chiar folclor (cazul particular \( a = 2 \) poate fi întâlnit ca problema 105 pentru gimnaziu în Arhimede 2004 05-06 - propusa de G. Dospinescu - se poate verifica pe website).
Life is complex: it has real and imaginary components.