Convergenta unui sir defint cu ajutorul unei functii

[Diana Putan]

Fie \( a\geq1 \) un numar real si \( f:{(-a,a)}\to\mathbb{R} \) o functie de clasa \( \mathcal{C}^2 \). Aratati ca sirul \( (u_{n}) \)definit prin relatia

\( u_{n}=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{f\displaystyle\left(\frac{k}{n^2}\right)} \)

este convergent si calculati limita sa.

Admitere SNSB, 2001

[Alin Galatan]

Sigur asa e? Daca f e constant 1, atunci \( u_n=n \) si nu mai e convergent.
Daca f(0) = 0, cred ca rezultatul e \( \frac{f^\prime(0)}{2} \). Avem \( \frac{f(\frac{k}{n^2})-f(0)}{\frac{k}{n^2}}=f^\prime (c_k^n) \), cu \( 0<c_k^n < \frac{k}{n^2} \).
Aproximand \( f^\prime (c_k^n) \) cu \( f^\prime (0) \) si trecand la limita intr-o suma Riemann (nici nu e nevoie de suma Riemann, trebuie doar trecut la limita in \( \sum\frac{k}{n^2} \), care e evident \( \frac{1}{2} \)), cred ca iese.
Insa nu ma pun sa redactez exact pana nu zici daca intr-adevar e completa ipoteza (eu folosesc f(0) = 0).

[Diana Putan]

Enuntul este corect.... copiat de pe foaia de examen

Dar ai dreptate , pt \( f \) constant 1, concluzia nu e adevarata...