IMAC Seniori 15 mai 2010 Ziua 1 Subiectul 2

[Andi Brojbeanu]

Sa se determine toate functiile \( f: \mathb{R} \rightarrow \mathb{R} \) cu proprietatea ca:
\( f(x+y)=f(x)+f(y)+f(xy), \forall x, y\in \mathb{R} \).
ROMANIA

[Laurentiu Tucaa]

Avem \( f(0)=0 \) evident si \( f(x)=f(x-y+y)=f(x-y)+f(y)+f(xy-y^2)=f(x)+f(-y)+f(y)+f(-xy)+f(xy-y^2) =>f(-y)+f(y)+f(-xy)+f(xy-y^2)=0 \) .Adun cu \( f(-y^2) \) si rezulta \( f(-xy)+f(xy-y^2)=f(-y^2) \).Acum \( f(xy-y^2)=f(xy)+f(-y^2)+f(-xy^3) \).Deci \( f(-xy)+f(xy)+f(-xy^3)=0 \) rezulta ca \( f(-xy^3)=f(-x^2y^2) \).Deci \( f(-x)=f(-x^2) \) si \( f(x)=f(-x^2) \) (prin inlocuirea lui y cu 1 si -1).Atunci cum \( 0=f(0)=f(x-x)=f(x)+f(-x)+f(-x^2)=3f(x) =>f(x)=0 \) solutia unica a ecuatiei.

PS:un pic cam simpla pt un concurs international