Danube 2007 - Problema 3

[Madalina]

Pentru fiecare \( n\in\mathb{N}^{*} \) definim \( f(n) \) ca fiind exponentul factorului prim 2 in descompunerea in factori primi a lui \( n! \). Sa se arate ca, pentru orice \( a\in\mathb{N}^{*} \), ecuatia \( n-f(n) = a \) are o infinitate de solutii.

[Filip Chindea]

Alegem \( n = n_t = 2^t(2^a - 1) \), pentru orice \( t \in \mathbb{N} \). Acum totul rezulta cu teorema lui Legendre. Pentru a vedea aceasta solutie, scriem de exemplu \( n = \sum_{k=0}^m a_k \cdot 2^k \), \( a_m = 1 \) cu \( a_j \in \{ 0, 1 \} \) pentru orice \( j \in \overline{0, m - 1} \).