JBTST V 2010, Problema 2

[Andi Brojbeanu]

FF simpla !

Fie \( ABC \) un triunghi si \( D, E, F \) mijloacele laturilor \( BC, CA, AB \) respectiv.

Sa se arate ca \( \angle{DAC}=\angle{ABE} \) daca si numai daca \( \angle{AFC}=\angle{BDA} \) .

[Claudiu Mindrila]

Intai \( DF\parallel AC\Longrightarrow\widehat{ADF}=\widehat{DAC} \). Fie \( G \) centrul de greutate al triunghiului \( ABC \).
Acum,

\( \widehat{DAC}=\widehat{ABE}\Longleftrightarrow\widehat{ABE}=\widehat{ADF}\Longleftrightarrow\widehat{FBG}=\widehat{FDG}\Longleftrightarrow BDFG\ \text{inscriptibil}\Longleftrightarrow\widehat{AFC}=\widehat{BDA} \)

[Virgil Nicula]

Fie \( ABC \) un triunghi si \( D, E, F \) mijloacele laturilor \( BC, CA, AB \) respectiv.

Sa se arate ca \( \angle{DAC}=\angle{ABE} \) daca si numai daca \( \angle{AFC}=\angle{BDA} \) .

Observatii.

1 - \( \ \widehat{DAC}\equiv\widehat{ABE}\ \Longleftrightarrow\ \widehat{AFC}\equiv\widehat{BDA}\ \Longleftrightarrow\ a^2+c^2=2b^2 \) .

2 - Fie \( ABC \) un triunghi si mijlocul \( E \) al laturii \( CA \) . Pentru un punct \( M\in (BE) \) notam \( D\in AM\cap BC \) si \( F\in CM\cap AB \) .

Sa se arate ca \( \angle{DAC}=\angle{ABE}\ \Longleftrightarrow\ \angle{AFC}=\angle{BDA}\ \Longleftrightarrow\ (1-2m)(a^2+c^2)=(1-m)b^2 \) , unde \( MD=m\cdot AD \) .