Fie functia f continua si \( f:[0,1] \to [0,\infty ],(x_n )_{n \in N} ,x_n = \int\limits_0^1 {f^n (x)dx\int\limits_0^1 {\frac{1}{{f^n (x)}}dx} } \).
Demonstreaza ca \( \x_n \) e crescator si e convergent daca si numai daca e constant.
Sir integral(GM 10/2009)
Moderators: Bogdan Posa, Beniamin Bogosel, Marius Dragoi
-
Theodor Munteanu
- Pitagora
- Posts: 98
- Joined: Tue May 06, 2008 5:46 pm
- Location: Sighetu Marmatiei
Sir integral(GM 10/2009)
Last edited by Theodor Munteanu on Tue Mar 23, 2010 2:55 pm, edited 1 time in total.
La inceput a fost numarul. El este stapanul universului.
-
Laurentiu Tucaa
- Thales
- Posts: 145
- Joined: Sun Mar 22, 2009 6:22 pm
- Location: Pitesti
Prima parte eu am facut-o prin inductie dar cerinta sigur nu e sa demonstrezi ca este descrescator ,ci crescator ,iar codomeniul lui f este deschis la 0.Asadar din CBS ai ca \( x_1\ge x_0 \),iar daca presupui \( x_{k+1}>x_k \),ai \( \frac{x_{k+2}}{x_{k+1}}=\frac{x_{k+1}}{x_k}\cdot\frac{x_{k+2}\cdot x_k}{(x_{k+1})^2} \).Daca mai aplici o data CBS dai de concluzie.
A doua cerinta este interesanta .Pe deoparte daca f este constanta e simplu de vazut ca \( x_n=1 \).Pe de alta parte daca f nu este constanta ,ea fiind continua isi atinge minimul si maximul(din teorema lui Weierstrass).Acum luam un \( \eps<\frac{m+M}{2} \),ai doua intervale disjuncte depinzand de epsilon a.i. \( f(x)>M-\eps \) pt unul dintre ele si altul pt care \( f(x)<m+\eps \).E clar acum ca \( x_n>\(\frac{M-\eps}{m+\eps}\)^n \),pt orice n natural iar limita iti va da infinit ,deci daca f nu este constanta sirul este nemarginit,deci divergent.
A doua cerinta este interesanta .Pe deoparte daca f este constanta e simplu de vazut ca \( x_n=1 \).Pe de alta parte daca f nu este constanta ,ea fiind continua isi atinge minimul si maximul(din teorema lui Weierstrass).Acum luam un \( \eps<\frac{m+M}{2} \),ai doua intervale disjuncte depinzand de epsilon a.i. \( f(x)>M-\eps \) pt unul dintre ele si altul pt care \( f(x)<m+\eps \).E clar acum ca \( x_n>\(\frac{M-\eps}{m+\eps}\)^n \),pt orice n natural iar limita iti va da infinit ,deci daca f nu este constanta sirul este nemarginit,deci divergent.