Centrul unui inel

[Theodor Munteanu]

Fie (A,+,*) un inel si \( Z(A) = \{ x \in A|xy = yx,\forall y \in A\} \)
a) Sa se demonstreze ca (Z(A),+,*) e inel;
b) Sa se demonstreze ca daca exista \( a, b, c \in Z(A) \), a si b inversabile, cu proprietatea \( ax^2 + bx + c \in Z(A),\forall x \in A \), atunci A e comutativ.

Romeo Ilie, Brasov

[cipriancx]

a) Vom demonstra ca \( Z(A) \leq A \) si Z(A) este submonoid al monoidului (A,*).

Fie x si y doua elemente din Z(A) iar b un element aleator din A.
\( b(x+y)=bx+by=xb+yb=(x+y)b \) rezulta ca \( (x+y) \in Z(A) \) deci Z(A) este parte stabila in raport cu adunarea.
Din \( x\in Z(A) \) rezulta ca \( ax=xa dar -ax=-xa \) echivalent cu \( a(-x)=(-x)a \Rightarrow \)Z(A) este grup in raport cu adunarea rezulta ca e subgrup al lui (A,+).
\( axy=xay=xya\Rightarrow \) (Z(A),*) este submonoid al lui (A,*), deci (Z(A),+,*) este subinel.

[Beniamin Bogosel]

Folosind relatia pentru \( x+y \) avem
\( ax^2+a(xy+yx)+ay^2+bx+by\in Z(A) \). De aici si din punctul a) rezulta ca \( xy+yx \in Z(A) \) pentru orice \( x,y \in A \). Acum, pentru orice \( x,y \in A \) avem \( x^2y+xyx=xyx+yx^2\Rightarrow x^2 \in Z(A),\ \forall x \).
Astfel, din enunt \( bx+c \in A,\ \forall x \Rightarrow Z(A)=A \), deci inelul este comutativ.