inegalitate

[elena_romina]

Fie A, B, C masurile unghiurilor unui triunghi. Sa se arate ca:
\( A cosA+B cos B+C cos C \leq \frac{\pi}{2} \)
Multumesc

[Theodor Munteanu]

Aplici ineg cebasev pentru A,B,C si cosA,cosB,cos C,si apoi Jensen pt functia cos ea fiind concava.

[Virgil Nicula]

... Jensen pt functia cos , ea fiind concava.

Fals ! Triunghiul este oarecare si functia COS este concava in primul cadran si al doilea este convexa.

Fie \( A \) , \( B \) , \( C \) masurile unghiurilor unui triunghi \( ABC \) . Sa se arate ca \( \sum A\cdot \cos A\le\ \frac{\pi}{2} \) .

Dem. Din relatiile cunoscute \( 2r\le R \) si \( \sum \cos A=1+\frac rR \) se obtine \( \overline{\underline{\left\|\ \sum\cos A\ \le\ \frac 32\ \right\|}}\ (*) \) . Deoarece \( a\le b\le c\ \Longleftrightarrow \)

\( \cos A\ \ge\ \cos B\ \ge\ \cos C \) , din inegalitatea Cebasev se obtine \( \sum A\cdot\cos A\ \le\ \frac 13\cdot\sum A\cdot\sum\cos A\ \stackrel{(*)}{\le}\ \frac {\pi}{3}\ \cdot\ \frac {3}{2}\ =\ \frac {\pi}{2} \) .

[mihai++]

Eu cred ca putem aplica direct Iensen la \( f(x)=xcosx \), adica nu am stat sa demonstrez, dar pe grafic arata concava pe \( [0,\pi] \).