In legatura cu teorema de medie

[Laurentiu Tucaa]

E un lucru pe care nu-l inteleg la clasa a XII-a in legatura cu teorema de medie:de ce punctul c din teorema este in intervalul inchis \( [a,b] \).Pt ca daca functia f este continua din Leibniz-Newton avem \( \int_a^b f(x)dx=F(b)-F(a) \) ,unde F este o primitiva a lui f .Dar stim ca orice primitiva este derivabila ,deci este si continua pe intreg [a,b],in concluzie este functie Rolle ,deci ii putem aplica Lagrange ,si atunci punctul c este in (a,b) .Nu inteleg de ce se insista atat cu teorema de medie ,cand ea poate fi usor o consecinta (sau chiar Lagrange insasi pt primitiva F a lui f).

[Theodor Munteanu]

Totul porneste de la demonstratia teoremei lui Rolle unde cand se demonstra ca derivata are un 0 in intervalul(a,b) se folosea de punctele de extrem local care puteau fi a,b,sau in interior .Cazul intervalului inchis se poate cand functiile sunt constante si domeniul de derivabilitate include intervalul.Referitor la legatura intre teorema de medie si lagrange(care se mai numeste formula medie) e doar o transpunere in calcul integral.
Un alt exemplu care sa releve legatura este :
daca functia \( f :[1,\infty) \to R \) e derivabila si f' monotona si marginita ,iar
\( {\lim }\limits_{x \to \infty } f(x) = \infty \) atunci \( a_n = \sum\limits_{k = 1}^n {f^{1}(k), b_n = a_n - f(n)} \) este divergent respectiv convergent.
Se mai poate scrie si astfel:\( f:[1,\infty) \to R \) mon si marg atunci
\( a_n = f(1) + ... + f(n) - \int\limits_1^n {f(x)dx} \) este convergent.

[Laurentiu Tucaa]

Am inteles demonstratia teoremei ,dar nu stiu cat de aplicabila este in probleme ,pt ca dupa mine creeaza mai multe probleme decat rezolva .De ex daca aplici teorema de medie intr-o problema in care iti cere sa demonstrezi ca exista in interior un punct cu o anumita proprietate ,daca folosesti teorema de medie sub numele acesta iti rezulta in cazul in care iti definesti functia care trebuie ,un punct pe inchis ,si tu treb sa dem de ex ca in capete nu are acea proprietate ,deci iti ia mai mult timp ,in timp ce daca amintesti ca F e functie Rolle din Lagrange iti iese punctul in interior si iti scurtezi demonstratia .