Recurenta liniara neobisnuita implica periodicitate

[Filip Chindea]

Fie \( (a_n)_{n \ge 0} \) un sir de numere reale cu proprietatea ca

\( a_{n+1} + a_{n-1} = |a_n| \), \( \forall n \ge 1 \).

Demonstrati ca sirul este periodic.

Concursul "La Scoala cu Ceas", 2008, Problema 4

[Cezar Lupu]

O mica remarca as avea de facut. Am vazut ca problema a fost semnata de cineva, insa ea figureaza ca problema 6439, vol. 92, 1985 AMM sub numele a doi propunatori: M. Brown si J. F. Slifker.

[Virgil Nicula]

Problema propusa imi aminteste de urmatoarea frumoasa problema a lui Fl. Vulpescu-Jalea, Bucuresti :

Sa se cerceteze natura sirului definit recurent \( x_1>0\ ,\ x_{n+1}=\left|x_n-n\right|\ ,\ n\in \mathbb N^* \) si sa se determine \( \lim_{n\to\infty}\ \frac {x_n}{n} \) .