SEEMOUS 2008, problema 1

[Alin Galatan]

Fie \( f:[1,\infty)\to (0, \infty) \) continua astfel ca pentru orice a>0, ecuatia \( f(x)=ax \) are solutie.
a) Demonstrati ca pentru orice a>0, ecuatia \( f(x)=ax \) are o infinitate de solutii.
b) Gasiti o functie crescatoare care sa verifice ipoteza.

[Radu Titiu]

Poate cinve sa posteze o functie ceruta la punctul b ?

[Theodor Munteanu]

Nu inteleg solutia problemei 4 cu existenta polinomului.Poate imi explica cineva de ce e asa?

[enescu]

Scriem relaţiile ca un sistem în care necunoscutele sunt coeficienţii polinomului.
Determinantul matricei sistemului este
\( \left|
\begin{array}
1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{3} & \cdots & \frac{1}{n}\\
\frac{1}{2} & \frac{1}{3} & \frac{1}{4} & \cdots & \frac{1}{n+1}\\
\frac{1}{3} & \frac{1}{4} & \frac{1}{5} & \ldots & \frac{1}{n+2}\\
\vdots & & & & \\
\frac{1}{n} & \frac{1}{n+1} & \frac{1}{n+2} & \ldots & \frac{1}{2n-1}
\end{array}
\right| \)


şi este egal cu \( \frac{(1!2!\ldots(n-1)!)^{3}}{n!\left( n+1\right) !\ldots\left(
2n-1\right)}\ne 0 \),

deci polinomul există