mateforum.ro

Marius Mainea · Posted: Sat Jun 21, 2008 9:16 pm Post subject: Sistem matriceal

Rezolvati in $\mathcal{M}_2(\mathbb{Z})$ sistemul:

$\left\{ \begin X(X+Y)X=I_2 \\ Y(X+Y)Y=I_2 \right$

heman · Euclid Joined: 28 Sep 2007 Posts: 39

$X^{-1}X(X+Y)X=X^{-1} \Rightarrow (X+Y)X=X^{-1}$ si $X(X+Y)XX^{-1}=X^{-1} \Rightarrow X(X+Y)=X^{-1} \Rightarrow (X+Y)X=X(X+Y)$
Inseamna ca $(X+Y)X=X(X+Y)$ $\Rightarrow X^2+YX=X^2+XY \Rightarrow YX=XY \Rightarrow X, Y$ comuta.
Din $I_2=X^3+XYX=X^3+YX^2$ , $I_2=Y^3+YXY$ si din faptul ca matricele comuta rezulta urmatoarele relatii:
$X^3-Y^3+YX^2-YXY=O_2 \Rightarrow (X-Y)(X^2+XY+Y^2)+YX(X-Y)=O_2 \Rightarrow (X-Y)(X^2+2XY+Y^2)=O_2$
$\Rightarrow (X-Y)(X+Y)^2=O_2$
Din relatiile initiale $X(X+Y)X=I_2$ si $Y(X+Y)Y=I_2$ , folosind formula $\det(XY)=\det(X)\det(Y)$ obtinem ca ${\det(X)}^2 \cdot \det(X+Y)=1 \Rightarrow \det(X+Y)=1$ .
Din $(X-Y)(X+Y)^2=O_2$ obtinem ca $\det(X-Y)=0$ .
Din cele doua relatii, $\det(X+Y)=1$ si $\det(X-Y)=0$ , dupa adunarea lor, va rezulta ca $2(\det(X)+\det(Y))=1$ , de unde $\det(X)+\det(Y)=\frac {1} {2}$ ceea ce este imposibil, deoarece matricele $X$ si $Y$ sunt din $M_2(\mathbb{Z})$ .

Marius Mainea · Posted: Sat Sep 12, 2009 9:26 pm Post subject:

Matricele X si Y comuta.

De asemenea $X+Y=X^{-2}$ si $X+Y=Y^{-2}$ deci $X^2=Y^2$ sau $(X-Y)(X+Y)=O_2$ deci X=Y (deoarece X+Y este inversabila).

De aici $2X^3=I_2$ $\Longrightarrow 4(\det X)^3=1 \Longrightarrow \det X=\frac{1}{\sqrt[3]{4}}\notin\mathbb{Z}$ .

BogdanCNFB · Thales Joined: 07 May 2008 Posts: 121 Location: Craiova

$(X+Y)(X-Y)=O_2$ nu implica faptul ca una dintre paranteze este egala cu $O_2$ .

mumble · Euclid Joined: 30 Jan 2008 Posts: 48

	mateforum.ro Forum Index -> Clasa a XI-a -> Algebra	All times are GMT + 2 Hours
Page 1 of 1