Olimpiada Brazilia 2009 (problema 5)

[mihai miculita]

Fie O centrul cercului circumscris triunghiului ABC. Notam cu \( B_1 \)si \( C_1 \) cel de al doilea punct de intersectie al dreptelor AB si AC cu cercul circumscris triunghiului OBC; cu \( A_2 \)si \( C_2 \) cel de al doilea punct de intersectie al dreptelor BA si BC cu cercul circumscris triunghiului OAC; iar cu \( A_3 \)si \( B_3 \) cel de al doilea punct de intersectie al dreptelor CA si CB cu cercul circumscris triunghiului OAB.
Sa se arate ca dreptele \( A_2A_3, B_1B_3 \) si \( C_1C_2 \) sunt concurente.

INDICATIE: Aratati ca dreptele \( A_2A_3, B_1B_3 \) si \( C_1C_2 \) sunt mediatoarele laturilor triunghiului ABC.

[Marius Mainea]

Sau altfel:

Aratam ca \( B_3O\perp AC \) si \( B_1O\perp AC \) de unde \( O\in B_1B_3 \).

Analog \( O\in A_2A_3 \) si \( O\in C_1C_2 \).