Numere cu suma 53

[Marius Mainea]

Sa se demonstreze ca din 53 de numere distincte a caror suma nu depaseste 2009, putem alege doua numere cu suma egala cu 53.

[Andi Brojbeanu]

Presupunem ca dintre cele 53 de numere nu putem alege doua numere cu suma 53.
Atunci va trebui sa selectam 53 de numere naturale distincte cat mai mici, astfel incat suma acestora sa fie cat mai mica. Suma celor 53 de numere trebuie sa aiba valoarea maxima 2009.
Pentru ca suma sa ia cea mai mica valoare, alegem urmatoarele numere naturale consecutive: \( 0, 1, 2, 3, 4, ........, 25, 26 \) pentru a face parte din sirul de 53 de numere. Observam ca nu putem selecta in continuarea sirului numerele \( 27, 28, 29, ...., 53 \) deoarece suma \( 0+53=53; 1+52=53; 2+51=53; ...... 25+28=53; 26+27=53 \), ceea ce ar duce la contradictie cu presupunerea facuta.
Atunci, cele 53 numere vor fi \( 0, 1, 2, 3, ....., 25, 26, 54, 55, ......, 78, 79 \) si suma acestora va fi egala cu
\( 1+2+3+4+....+26+54+55+....+78+79= \)
\( \frac{26\cdot 27}{2}+53+1+53+2+ .....+ 53+25+ 53+26= \)
\( \frac{26\cdot 27}{2}+53\cdot 26+ (1+2+3+...+26)= \)
\( \frac{26\cdot 27}{2}+53\cdot 26+ \frac{26\cdot 27}{2}= \)
\( 26\cdot 27+ 53\cdot 26=26\cdot(53+27)=26\cdot 80= 2080>2009 \), contradictie cu ipoteza.