Ecuatie in numere complexe

[Bogdan Posa]

Sa se determine \( z \in C^* \) stiind ca \( r\in(2,\infty) \) si \( \displaystyle |z+\frac{1}{z}|=|z^3+\frac{1}{z^3}|=r \).

[opincariumihai]

Notez \( a=z+\frac{1}{z} \). Relatia din ip. devine \( |a|=|a^3-3a|=r \) si cum
\( 3|a|+|a^3-3a|\geq|a|^3 \) (1)
obtin \( 4r \geq r^3 \) deci \( 2\geq r \).
Acum daca \( r>2 \) nu avem solutii.
Daca\( r=2 \) vom avea egalitate in (1), deci exista \( t\geq 0 \) astfel incat \( a^3-3a=3ta \) de unde obtin \( a \in \{-2,2} \), de unde \( z \in\{-1,1}. \)

P.S. Problema s-a dat anul acesta la olimpiada locala Hunedoara.