"Demonstratii" ale Marii teoreme a lui Fermat

[Z]

Eu cred ca Fermat a demonstrat cu elemente de matematica cunoscute la vremea enuntarii acestei teoreme. Am inteles ca doar foarte putini matematicieni au inteles demonstratia pe vreo 130 de pagini dense a lui Wiles.
Se poate demonstra foarte usor ca pentru numere naturale nenule x, y si z trebuie sa fie laturile unui triunghi oarecare si in consecinta problema se reduce la rezolvarea urmatorului sistem de ecuatii:
z^n=x^n+y^n
z=xcosB+ycosC,
in care B si C sunt unghiurile formate de laturile x si z respectiv laturile y si z. Rezulta ca:
z={[x^(n-1)]/[z^(n-1)]}x+{[y^(n-1)]/[z^(n-1)]}y=xcosB+ycosC.
Din aceasta identitate rezulta ca:
[x^(n-1)]/[z^(n-1)]=cosB si [y^(n-1)]/[z^(n-1)]=cosC si inlocuind pe cosB si cosC in functie de x, y si z rezulta imediat ca exista solutii x, y si z numere naturale diferite de zero doar pentru n<3.

[Beniamin Bogosel]

Vrei sa zici ca exista si alte solutii mai simple pentru teorema asta? Atunci de ce nu se stie si alta solutie mai simpla scrisa in vreun articol??

(si implicatia \( m\cos B + n\cos C=ma+nb \Rightarrow \cos B=a,\ \cos C=b \), pe care ai folosit-o mai sus nu e adevarata).

[Z]

Vrei sa zici ca Fermat a mintit?
Esti de acord ca daca x, y si z sunt numere naturale nenule atunci x, y si z trebuie sa fie laturile unui triunghi oarecare? Daca m, n, a si b din implicatia data de tine respecta conditiile specificate de mine atunci este adevarat ce am spus eu. Ce conditii implica m, n, a si b in implicatia data de tine?

[Beniamin Bogosel]

Mai uita-te o data la ce ai scris, si gandeste-te. In plus, n-am zis ca Fermat a mintit, dar pana in momentul de fata se stie ca el nu a scris nici o solutie la problema asta.

Si implicatia aia nu are cum sa fie adevarata pentru ca ai o singura ecuatie cu doua necunoscute. Chiar daca \( x,y,z \) sunt numere intregi, tot nu merge.

Daca tot insisti ca spui adevarul, de ce nu scrii o demonstratie mai detaliata, sa ne lamurim si noi odata?

[Z]

Considerand ca x, y, z sunt numere naturale nenule si mai mult sunt diferite si prime intre ele doua cate doua, atunci se pune intrebarea fireasca: "Care sunt relatiile dintre x, y si z?" Astfel este evident ca z>y si z>x. Presupunem ca y>x si consideram ca z>x+y. Atunci prin ridicare la puterea n aceasta inegalitate devine \( z^n>x^n+y^n+S(x,y) \) unde S(x,y) >0 si inlocuind pe \( z^n=x^n+y^n \) rezulta ca S(x,y)<0 ceea ce este absurd si deci z<x+y. Se arata usor ca y<z+x si x<z+y. In concluzie x, y si z trebuie sa fie laturile unui triunghi oarecare si am aratat mai inainte ca din sistemul de ecuatii scris de mine rezulta ca doar pentru n<3 exista x, y si z numere naturale nenule, diferite si prime.

[Beniamin Bogosel]

Partile astea care le-ai scris mai sus erau evidente si la inceput. Te rog sa demonstrezi implicatia aia care am spus eu ca nu merge. Acolo e toata problema. Vad ca eviti sa o demonstrezi...

[Z]

Nu evit nimic, dar nu cunosc bine LaTeX si am sa revin cu explicatii. Daca inlocuiesti pe cosB si cosC in functie de x, y si z se obtine o egalitate din care rezulta ca doar pentru n<3 ar putea exista x, y si z numere naturale care sa respecte Marea Teorema a lui Fermat.
In implicatia data de tine spune-mi te rog cine sunt m, n, a si b. Chiar si asa nu vad de ce nu ar fi adevarat ca -1<a=cosB<1 si -1<b=cosC<1 iar m si n nu vad de ce nu ar putea fi si numere complexe. Numai ca in cazul implicatiei tale eu nu vad nici o legatura cu Marea Teorema a lui Fermat unde conditiile initiale sunt clare si nu putem considera altfel de numere decat cele naturale. Dupa ce demonstram ca nu exista numere naturale care sa respecte Marea Teorema a lui Fermat se arata usor ca nu exista nici macar numere intregi care sa respecte aceasta teorema.

[Mihai Berbec]

Despre ipoteza lui Riemann inca nimic ?

[Beniamin Bogosel]

Deci, sa vedem ce iese...

Avem \( \left\{ z=x \cos B+y \cos C \\
z = x \left(\frac{x}{z}\right)^{n-1} + y \left(\frac{y}{z}\right)^{n-1}\right. \).

Atunci combinand relatiile \( x \left( \cos B - \left(\frac{x}{z}\right)^{n-1}\right) =- y \left( \cos C -\left(\frac{y}{z}\right)^{n-1}\right) \).

Demonstreaza tu de aici ca avem \( \cos B = \left(\frac{x}{z}\right)^{n-1},\ \cos C= \left( \frac{y}{z} \right)^{n-1} \).

Nu cred ca se poate.

[Z]

Relatia se scrie si asa \( x \left( \cos B - \left(\frac{x}{z}\right)^{n-1}\right) + y \left( \cos C -\left(\frac{y}{z}\right)^{n-1}\right)=0 \). Aceasta relatie rezulta dintr-o identitate si cum x si y sunt numere naturale nenule atunci stim ca pentru ca o suma de doi termeni pozitivi sa fie nula este necesar ca toti termenii sumei sa fie nuli si deci rezulta ca este necesar ca sa existe relatiile \( \cos B = \left(\frac{x}{z}\right)^{n-1},\ \cos C= \left( \frac{y}{z} \right)^{n-1} \). Inlocuind pe cosB si cosC in functie de x,y si z rezulta in final o relatie de forma \( z^{n-2}=(y^n-x^n)/(y^2-x^2) \).
Pentru n=1 nu exista relatia in triunghi, dar daca consideram triunghiul la limita ca fiind degenerat atunci din ultima relatie rezulta totusi z=y+x si aceasta ecuatie are o infinitate de solutii.
Pentru n=2 rezulta 1=1 sau scriind altfel relatia generala rezulta z^2=y^2+x^2 ceea ce este adevarat si deci exista posibilitatea unor solutii pentru n=2 in multimea numerelor naturale fapt stiut deja ca are solutii si in numere intregi. Pentru n=3 rezulta z=y+[x^2/(y+x)]; ridicand la cub obtinem z^3={y+[x^2/(y+x)]}^3=y^3+x^3 de unde rezulta 5x(y^3)+3y^4+3(y^2)x^2=0 ceea ce este absurd.
Pentru n=4 rezulta z^2=y^2+x^2 care impreuna cu z^4=y^4+x^4 da 2(x^2)y^2=0 ceea ce este absurd si tot asa mai departe.
De fapt pentru n>2 rezulta ca z^(n-2) nu poate fi egal cu (y^n-x^n)/(y^2-x^2). Scriind pe (y^n-x^n)/(y^2-x^2)=(y-x)[y^n-1+(y^n-2)x+.......yx^n-2+x^n-1]/[(y-x)(y+x)] si considerand cazul lui n par sau impar se obtin relatii care arata clar ca nu poate exista egalitate decat pentru n<3.

Scuze pentru LaTex dar nu il inteleg inca. Am gasit pe un forum un LaTex inteligent care scriind asa cum am scris eu mai sus imi converteste foarte bine scrierea matematica.

[Beniamin Bogosel]

Nu pricep cum de nu intelegi unde e greseala. Sper ca nu esti student la mate... Relatia aia nu e suma de termeni pozitivi.

[Z]

Hai sa analizam impreuna cu creionul pe hartie! Daca x si y sunt numere naturale nenule, atunci ce semn au \( \cos B - \left(\frac{x}{z}\right)^{n-1},\ \cos C- \left( \frac{y}{z} \right)^{n-1} \)? Intr-adevar sunt de semne diferite, dar cum x si y sunt pozitive rezulta ca putem considera ca la orice identitate \( \cos B = \left(\frac{x}{z}\right)^{n-1},\ \cos C=\left( \frac{y}{z} \right)^{n-1} \). Si daca sunt de semne contrare cu aceeasi valoare in modul rezulta ca x=y. Dar x, y si z sunt numere naturale, ceea ce ce incalca ipoteza deoarece pentru x=y rezulta ca z este un numar irational pentru n>1.

[Beniamin Bogosel]

Chiar nu inteleg de ce mai insisti. Folosesti implicatia aia de care ti-am vorbit de la inceput si tu insisti ca e adevarata, desi nu e.

Tu ai o relatie, NU o identitate pentru orice numere naturale \( x \) si \( y \). Dintr-o singura relatie de felul acela nu poti sa tragi concluziile tale.

Sper ca ma intelegi.

Chiar crezi ca altii nu au mai incercat pe calea asta? Cred ca putem continua discutia prin PrivateMessage. Nu cred ca mai sunt altii "interesati" de subiectul asta.

[bae]

Cred ca putem continua discutia prin PrivateMessage. Nu cred ca mai sunt altii "interesati" de subiectul asta.

Asa ma gandeam si eu.