Gafa matematica sau eroare de calcul?

[alexandru_infomath]

De ceva timp ma cert cu prietenii pe cat face (-1)^2^1/2. Am stabilit ca are doua valori, 1 si -1... N-ar trebui sa aibe doar una, 1? Eu am facut:
1) (-1)^2=1 si sqrt(1)=1;
2) (-1)^(2*1/2)=-1.
Care varianta e corecta sau...is ambele. Ma lamureste cineva va rog??

Am notat: x^y= x la puterea y, sqrt(x)= radical de ordin 2 din x.

Multumesc

[Math_clau]

\( {(-1)^2}^{\frac{1}{2}} \)
dak da cred ca se face prima data \( 2^{\frac{1}{2}}=sqrt2 \)
deci \( (-1)^sqrt2 \) care nu stii cat e
\( sqrt2=irational \)

Chiar si eu is curios sa vad daca ne lamureste cineva: \( m^n^p \) care se face prima, \( n^p \) sau \( m^n \)?

[bgd]

O operatie de ridicare la putere de acest gen nu este asociativa, deci trebuie indicate paranteze. Conventia generala e ca se face "de sus in jos" daca nu sunt paranteze.
Adica intai 2 la 1/2 si apoi (-1) la radical din 2.
Numai ca apare alta problema: nu se poate defini (-1) la o putere numar irational(nici macar (-1) la o fractie nu are sens).
Puterile cu exponent irational se definesc numai pentru numere pozitive. De altfel si cele cu exponent fractionar.
De exemplu, cat ar fi (-1) la 1/3?
Pai radical de ordin 3 din -1, ati putea spune.
Insa 1/3=2/6.
Deci (-1) la 1/3 ar trebui sa fie egal si cu (-1) la 2/6, adica radical de ordin 6 din -1 la patrat, ceea ce ne da 1.
Si am obtinut deja o contradictie.
Aceasta problema nu apare de exemplu in cazul (-1) la 4/3. Insa n-are nici o ultilitate sa introducem puterile lui (-1) doar cu anumiti exponenti fractionari, deoarece o operatie trebuie sa "mearga" cu toate elementele unei multimi ca sa ne ajute la ceva.
Altfel, facand operatii cu puteri "bine definite" ale lui -1 am putea ajunge la puteri "prost definite, cum e (-1) la 1/3, deci ar aparea probleme. Deci nu mai pot face operatii cu astfel de numere,deoarece pot da peste surprize. Si atunci ce rost are sa definesc un numar doar asa, sa fie, fara a putea face operatii cu el?
Apoi puterile cu exponent irational se definesc cu ajutorul puterilor cu exponenti numere rationale, egale cu aproximarile numarului irational respectiv.

In concluzie (-1) la radical din 2 nu are sens.

[Dragos Fratila]

\( (-1)^{1/2}=i \) - desigur, depinde semnul pe care il alegi (de fapt se cheama ramura pe care o alegi: cu + sau cu -) - functia radical nu e bijectiva pe \( [0,\infty) \mapsto (-\infty,\infty) \)
\( (-1)^{1/3} = \varepsilon = \cos(2\pi/3)+i\sin(2\pi/3) \) (sau \( \varepsilon ^2 \) sau -1). Si aici depinde de "ramura" pe care o alegi (ceea ce sta in spate e faptul ca cos si sin nu sunt bijective, de ex \( \arccos(-1) = cos^{-1}(-1) = \pi/2 \) sau \( 3\pi/2 \), etc ).

Pentru a defini \( (-1)^a \) se poate folosi formula lui Euler: \( e^{ix} = \cos x+i\sin x \), de unde \( e^{i\pi} = -1 \) si acum \( (-1)^a = e^{ia\pi} \).

Se observa ca in felul acesta se poate defini \( z^w = e^{\log(z)w} \) pentru \( z,w\in\mathbb{C} \), dar trebuie atentie mare la ramuri fiindca log(z) nu e bine definit peste tot (spre exemplu \( i2\pi = \log(e^{i2\pi}) = \log(e^{i4\pi}) = i4\pi \)) si trebuie aleasa o "ramura" (scoatem "ceva" din \( \mathbb{C} \) pe care nu definim log-ul)...

[Virgil Nicula]

Parerea mea este ca \( (-1)^{\frac 12} \) nu are sens nici macar in multimea numerelor complexe ! Dupa cate stiu eu, orice obiect matematic este definit univoc, adica "exista" undeva si este unic, mai exact, functional. Ne putem exprima astfel : cele doua radacini de ordinul doi ale lui \( -1 \) ... adica numerele complexe \( z \) pentru care \( z^2=-1 \) si nicidecum \( (-1)^{\frac 12} \) . Va intreb, ce-i acela \( \sqrt {3+4i} \) , care dintre \( 2+i \) sau \( -2-i \) ... Raspunsul este clar : nu are sens. Ma rog, parerea mea. Putem spune doar ca \( \pm (2+i) \) sunt radacinile de ordinul doi (si nicidecum "radical" sau "radicalul") ale lui \( 3+4i \) , adica radacinile ecuatiei \( z^2=3+4i \) .

Definitie. Fiind dat un numar complex \( \alpha \) si un numar natural \( n\ge 2 \), atunci \( z\in\mathbb C \) pentru care \( z^n=\alpha \) se numesc radacini de ordinul \( n \) ale lui \( \alpha. \)

Nu se spune "radical din ..." ci "radicalul din ...", adica folosind articolul hotarat care exprima implicit unicitatea. Alt exemplu, "logaritmul in baza ... din numarul ... " sau "puterea a treia a lui ..." In general, "\( y=f(x) \) este imaginea lui \( x \) si \( x \) este o preimagine a lui \( y \) ".

[bgd]

Exact. Asta le spun si eu elevilor: nu exista radical din numar complex.
Iar de tampeniile alea cu ramuri m-am lovit si eu in facultate si sincer, nu prea le-am priceput eu rostul... Cum adica depinde de semnul pe care il alegi? Pai poate Ionescu alege un semn iar Popescu alege alt semn, vorbind despre acelasi lucru. Mi se pare un atac la cel mai elementar bun-simt matematic!
Apropo de matematica din facultate, chiar m-a scarbit cateodata neglijenta cu care abordeaza anumite chestiuni profesorii universitari! In stilul "haida-mai", neglijeaza tot felul de cazuri particulare, de conditii, restrictii, etc (chiar cand intervin in mod esential in demonstratii) turuindu-si "poezia" pe care o repeta de 20 de ani... Plus faptul ca multi dintre ei sunt niste veritabili anti-pedagogi si fac tot posibilul incat cursul sa para mai greu si mai complicat decat este in realitate, in loc sa-l accesibilizeze.
Iar rezultatele se vad... Studentii "invata" tot felul de SF-uri si abstractiuni iar cand merg la practica isi dau seama ca nu stiu in profunzime nici materia de liceu...

[Virgil Nicula]

Acum nu fi si tu atat de dur. Sa retinem ca daca se precizeaza un criteriu de extragere a unui unic element cu o aceeasi proprietate mereu (care ar trebui sa se conserve la operatii cel putin grupoidal - consistenta si asociativitatea) din multimea tuturor posibilitatilor, atunci devine o conventie si treaba devine operationala. Insa recomandarea mea este sa se evite pe cat posibil asemenea situatii la nivelul elevilor, chiar si de clasa a XII - a ....

[bae]

Nu se spune "radical din ..." ci "radicalul din ...", adica folosind articolul hotarat care exprima implicit unicitatea. Alt exemplu, "logaritmul in baza ... din numarul ... "

Ceea ce este amuzant aici este ca de fapt chiar asa se spune: "radical din..." si "logaritm in baza...din numarul...". Dar e bine sa ne mai si amuzam din cand in cand, nu?

Exact. Asta le spun si eu elevilor: nu exista radical din numar complex.

Culmea e ca exista si e mai multi.

Apropo de matematica din facultate, chiar m-a scarbit cateodata neglijenta cu care abordeaza anumite chestiuni profesorii universitari! In stilul "haida-mai", neglijeaza tot felul de cazuri particulare, de conditii, restrictii, etc (chiar cand intervin in mod esential in demonstratii) turuindu-si "poezia" pe care o repeta de 20 de ani... Plus faptul ca multi dintre ei sunt niste veritabili anti-pedagogi si fac tot posibilul incat cursul sa para mai greu si mai complicat decat este in realitate, in loc sa-l accesibilizeze.
Iar rezultatele se vad... Studentii "invata" tot felul de SF-uri si abstractiuni iar cand merg la practica isi dau seama ca nu stiu in profunzime nici materia de liceu...

Nu prea am auzit eu de stilul asta "haida-mai", o fi ceva mai nou. Dar profesorii pe care eu i-am avut nu uitau deloc conditii, restrictii, etc. Mai mult, cel mai "anti-pedagog" dintre toti, profesorul Jurchescu, tinea unul dintre cele mai interesante cursuri. Numai ca trebuie sa mai si stii sa asculti si sa ai perceptia matematica necesara intelegerii cursului.
Cat despre studentii care invata SF-uri, si aici gresiti: marea lor majoritate nu invata nimic iar cu materia de liceu aveau probleme de pe vremea cand erau elevi, ca altfel dadeau la ASE si nu la matematica.

[Dragos Fratila]

Parerea mea este ca \( (-1)^{\frac 12} \) nu are sens nici macar in multimea numerelor complexe ! Dupa cate stiu eu, orice obiect matematic este definit univoc, adica "exista" undeva si este unic, mai exact, functional. Ne putem exprima astfel : cele doua radacini de ordinul doi ale lui \( -1 \) ... adica numerele complexe \( z \) pentru care \( z^2=-1 \) si nicidecum \( (-1)^{\frac 12} \) . Va intreb, ce-i acela \( \sqrt {3+4i} \) , care dintre \( 2+i \) sau \( -2-i \) ... Raspunsul este clar : nu are sens. Ma rog, parerea mea. Putem spune doar ca \( \pm (2+i) \) sunt radacinile de ordinul doi (si nicidecum "radical" sau "radicalul") ale lui \( 3+4i \) , adica radacinile ecuatiei \( z^2=3+4i \) .

Judecând analog pentru Dvs nici \( \sqrt{1} \) nu are sens, dacă o fi -1 ce ne facem?

Iar de tampeniile alea cu ramuri m-am lovit si eu in facultate si sincer, nu prea le-am priceput eu rostul... Cum adica depinde de semnul pe care il alegi? Pai poate Ionescu alege un semn iar Popescu alege alt semn, vorbind despre acelasi lucru. Mi se pare un atac la cel mai elementar bun-simt matematic!

"Tampeniile" de care spuneţi le folosiţi şi Dvs atunci când faceţi radical din 4... doar că le ignoraţi.

[Mihai Berbec]

Studentii "invata" tot felul de SF-uri.....

Apropo de alegeri, cred ca era mai potrivit sa puneti ghilimele cuvantului studentii.
Intradevar, pentru "studentii" si o ecuatie de gradul doi poate reprezenta un SF.

[Beniamin Bogosel]

Iar de tampeniile alea cu ramuri m-am lovit si eu in facultate si sincer, nu prea le-am priceput eu rostul... Cum adica depinde de semnul pe care il alegi?

Credeti ca ramurile astea au fost inventate doar asa ca aveau chef matematicienii de mai multa teorie? Probabil ca elevii n-au nevoie de lucrurile astea, dar nici sa le ziceti ca nu exista... In analiza complexa exista asa numitele "multi-valued functions" (uitati-va aici pentru functia radical). Si exista nu numai functii cu 2 ramuri, ci si cu mai multe... Probabil ca dumneavoastra nu veti avea nevoie de ele, dar altii vor avea...
Nu cred ca trebuie sa inventam matematica din nou...

[Dragos Fratila]

Va intreb, ce-i acela \( \sqrt {3+4i} \) , care dintre \( 2+i \) sau \( -2-i \) ... Raspunsul este clar : nu are sens.

"Vă întreb, ce-i acela \( \sqrt{4} \), care dintre 2 şi -2... Răspunsul este clar : nu are sens."

[Edit: Cred că "nenorocitul" de 1 vă confuza]

[Virgil Nicula]

Reiau, ca vad ca ne incalecam cu "postarile/ripostele" .... D.F. , continui sa fii ambiguu.

Judecând analog pentru Dvs nici \( \sqrt{1} \) nu are sens, dacă o fi -1 ce ne facem?

Va intreb, ce-i acela \( \sqrt {3+4i} \) , care dintre \( 2+i \) sau \( -2-i \) ... Raspunsul este clar : nu are sens.

"Vă întreb, ce-i acela \( \sqrt{1} \), care dintre 1 şi -1... Răspunsul este clar : nu are sens."

Nu inteleg ce vrei sa spui. Te rog fii mai explicit. Confuzia este in capul tau. Ce-i cu acel \( (-1) \) ?
Cel putin in a doua ta postare este o interpretare deplasata si chiar putin rautacioasa.
Daca este vorba de \( \sqrt {-1} \) evident nu are sens (la cei mici !) numai daca folosim eventual simbolul radical pentru "multimea" radicalul din \( (-1) \), adica \( \sqrt {-1}=\{i,-i\} \) , atunci este cu totul altceva si are sens.
Si atunci cum definesti operatiile intre multimile \( A=\sqrt {-1} \) si \( B=\sqrt {1+i} \), de exemplu suma \( A+B \) ?! Si ce este suma \( A+B \) ? Oare \( A+B=\{a+b\ |\ a\in A\ ,\ b\in B} \) ? Iata apar probleme ... la cei mici.
As fi dorit sa discutam live asa ceva, ca pe net deja devine ridicol si obositor.

[Liviu Ornea]

Domnilor Nicula, bgd

Oferiti un spectacol lamentabil. Matematica nu se opreste la nivelul problemisticii de liceu. Luati o carte de analiza complexa si cititi, veti afla despre ramuri, despre suprafete riemanniene, despre acoperiri s.am.d. Ele exista independent de intelegerea dumneavoastra. Sigur, sinteti liberi sa le etichetati cum vreti, dar etichetele pe care le puneti nu despre notiunilor matematice dau seama.
E foarte ciudat ca tocmai dumneavoastra, domnule Nicula, care indemnati elevii sa studieze, nu va duceti la biblioteca in momentul cind nu stiti sau nu intelegeti ceva.

Cu tristete,
L.O.

[aleph]

Cred că e util să fie clarificată definiţia lui \( z^w \) pentru \( z,w \) complexe, pentru cei care nu au la activ un curs de funcţii complexe.
Aceasta cu atât mai mult cu cât există calculatoare de buzunar care operează in mulţimea numerelor complexe.

Deci, pentru \( z \) un număr complex nenul, se defineşte ramura principală a logaritmului prin
\( \log z = \ln |z| + i \arg z \)
unde \( \arg z \in (-\pi,\pi] \) este argumentul numărului complex (nenul) \( z \).

Pentru \( z,w \) numere complexe cu \( z \ne 0 \), se defineşte:
\( z^w = e^{w \log z} \)
De notat că exponenţiala pentru numere complexe nu pune probleme (este funcţie întreagă); avem în fapt \( e^{x+iy} = e^x( \cos y + i \sin y) \).

Este bine să fim însă avertizaţi asupra faptului că multe dintre formulele cunoscute nu mai sunt valabile; de exemplu \( z^{v+w} \) poate diferi de \( z^v z^w \), iar \( (-27)^{1/3}\ne -3 \).

[Virgil Nicula]

Domnilor Nicula, bgd

Oferiti un spectacol lamentabil. Matematica nu se opreste la nivelul problemisticii de liceu. Luati o carte de analiza complexa si cititi, veti afla despre ramuri, despre suprafete riemanniene, despre acoperiri s.am.d. Ele exista independent de intelegerea dumneavoastra. Sigur, sinteti liberi sa le etichetati cum vreti, dar etichetele pe care le puneti nu despre notiunilor matematice dau seama.
E foarte ciudat ca tocmai dumneavoastra, domnule Nicula, care indemnati elevii sa studieze, nu va duceti la biblioteca in momentul cind nu stiti sau nu intelegeti ceva.

Cu tristete,
L.O.

Cunosc sau mai degraba imi amintesc, domnule Ornea ! Imi pare rau ca nu vreti sa intelegeti. Nu am mari pretentii de "savant", insa cunosc foarte bine copiii, si mici si mari, dupa o indelungata experienta didactica. Cu tristete va spun si eu ca atunci cand folositi \( \sqrt {-1} \) trebuie sa indicati printr-un simbol intr-un fel ramura ... si sa nu facem pe "desteptii" aici in fata elevilor. Asa cum simbolul \( \int ... \) exprima/defineste o multime, multimea functiilor cu o anumita proprietate (se poate spune ca si in acest caz este univoca pentru ca imaginea este o singura multime; daca dorim univocitate ca element, de exemplu langa acest simbol ar trebui mentionat si un punct care apartine functiei), asa si \( \sqrt {-1} \) ar trebui sa fie definit ca multimea \( A \) a numerelor complexe \( z \) cu o anumita proprietate, \( z^2+1=0 \) , adica \( \sqrt {-1}=A=\{i,-i\} \) . Am anticipat bine ca vom deveni ridicoli si obositor de ... "destepti". Cum este ambiguu si cine "gafeaza" in acest context. Inca odata,

Cu profunda tristete, V.N.

[bgd]

Va intreb, ce-i acela \( \sqrt {3+4i} \) , care dintre \( 2+i \) sau \( -2-i \) ... Raspunsul este clar : nu are sens.

"Vă întreb, ce-i acela \( \sqrt{4} \), care dintre 2 şi -2... Răspunsul este clar : nu are sens."

[Edit: Cred că "nenorocitul" de 1 vă confuza]

\( \sqrt{4} \) e acel numar pozitiv al carui patrat este egal cu 4. Clar aceasta definitie nu poate fi extinsa la numere complexe, ca ele nu pot fi pozitive/negative.
Deci e o diferenta.