Grup cu 2002 elemente

[Bogdan Posa]

Fie G un grup cu 2002 elemente care are un singur subgrup cu 26 elemente si un singur subgrup cu 77 de elemente. Aratati ca daca cele doua subgrupuri sunt comutative, atunci G este comutativ.

Ion Savu

[Marius Dragoi]

Ar fi mai buna o generalizare:
\( |G| = pq \), unde \( (p,q)=1 \) iar \( G \) are un unic subgrup \( H \) cu \( p \) elemente si un unic subgrup \( K \) cu \( q \) elemente. Sa se arate ca daca \( H \) si \( K \) sunt comutative, atunci \( G \) este comutativ.

[Radu Titiu]

Se verifica usor faptul ca \( K \times H \) (produs direct) este grup comutativ si are ordinul egal cu \( pq \).

Voi demonstra ca \( f:H \times K \to G \), \( f((x,y))=xy \) este izomorfism.

Din faptul ca p si q sunt prime intre ele rezulta ca \( H \cap K=\{e\} \). Altfel daca ar fi un element x diferit de e, din \( H \cap K \) atunci \( ord(x) | p \) si \( ord(x) | q \), contradictie.

Deoarece \( i_a :H \to G \), \( i_{a}(x)=a^{-1}xa \), este un morfism injectiv de grupuri, iar grupul H este unic in G rezulta ca \( i_a(H)=H \). Deci \( a^{-1}Ha=H \), pentru a arbitrar din G. Analog avem \( a^{-1}Ka=K \).

\( f((x,y)(a,b))=f((x,y))f((a,b)) \), echivalent cu \( ay=ya \) sau \( aya^{-1}y^{-1}=e \)

Dar \( aya^{-1}y^{-1} \) apartine lui K deoarece \( aya^{-1} \in K \). La fel rezulta faptul ca \( aya^{-1}y^{-1} \) apartine lui H. Deci
\( aya^{-1}y^{-1} \in H \cap K \), deci \( aya^{-1}y^{-1}=e \). Asadar f este morfism.

Voi arata ca f este injectiv (ceea ce este suficient pentru a demonstra faptul ca f e bijectie, in acest caz).

\( f((x,y))=f((a,b)) \leftrightarrow xy=ab \), echivalent cu \( a^{-1}x=by^{-1} \).Dar \( a^{-1}x \in H \) si \( by^{-1} \in K \). Deci \( a^{-1}x=by^{-1} \in H\cap K \), deci \( x=a \) si \( y=b \).