Pentru orice numar natural n exista m natural

Post by **Cezar Lupu** » Wed Dec 19, 2007 8:23 pm

Sa se arate ca pentru orice numar natural \( n \) exista un numar natural \( m \) astfel incat

\( (1+\sqrt{2})^{n}=\sqrt{m}+\sqrt{m+1} \).

Concurs "Stelele matematicii" 2007

Adriana Nistor · Post by **Adriana Nistor** » Fri Jan 30, 2009 11:58 pm

Vom folosi inductia.

Pentru \( n=1 \) avem \( (1+\sqrt{2})^1=1+\sqrt{2}=\sqrt{1}+\sqrt{2} \), \( m=1 \).

Pentru \( n=2 \) avem \( (1+\sqrt{2})^2=3+2\sqrt{2}=\sqrt{8}+\sqrt{9} \), \( m=8 \).

Daca pentru \( n=k \) exista \( m \), atunci demonstram ca pentru \( n=k+1 \) exista \( m \).

\( (1+\sqrt{2})^{n+1}=(1+\sqrt{2})^n\cdot(1+\sqrt{2})= \)
\( (\sqrt{m}+\sqrt{m+1})(1+\sqrt{2})=\sqrt{m}+\sqrt{m+1}+\sqrt{2m}+\sqrt{2m+2}= \)
\( \sqrt{3m+1+2\sqrt{2m(m+1)}}+\sqrt{3m+2+2\sqrt{2m(m+1)}} \).

Ar mai trebui sa aratam ca \( \sqrt{2m(m+1)} \) e numar natural, ceea ce se demonstreaza tot prin inductie.

Virgil Nicula · Post by **Virgil Nicula** » Sat Jan 31, 2009 3:13 pm

Draguta problema ! Se poate face si direct, fara a scrie prea mult, insa trebuie cunoscut binomul lui Newton.

Raspuns : daca \( n \) este par, atunci \( m=f(n)=\left(\sum_{k=0}^{\frac n2}C_n^{2k}2^k\right)^2-1 \) ; in caz contrar, \( m=\left(\sum_{k=0}^{\frac {n-1}{2}}C_n^{2k}2^k\right)^2 \) .

Exemple. Notam \( m=f(n) \) , \( n\in \mathbb{N}^* \) .

\( \odot\ \ m=f(4)=\left(C_4^0\cdot 2^0+C_4^2\cdot 2^1+C_4^4\cdot 2^2\right)^2-1=17^2-1=18\cdot 16 \) , \( m+1=17^2 \) iar \( \left(1+\sqrt 2\right)^4=17+12\sqrt 2 \) .

\( \odot\ \ m=f(5)=\left(C_5^0\cdot 2^0+C_5^2\cdot 2^1+C_5^4\cdot 2^2\right)^2=41^2 \) , \( m+1=41^2+1=2\cdot 29^2 \) iar \( \left(1+\sqrt 2\right)^5=41+29\sqrt 2 \) .

Adriana Nistor · Post by **Adriana Nistor** » Sat Jan 31, 2009 4:47 pm

Puteti sa detaliati un pic cum ati gasit pe \( m \), va rog mult (pentru ca nu-mi dau seama).

Virgil Nicula · Post by **Virgil Nicula** » Sat Jan 31, 2009 6:30 pm

OFF-topic. Adriana, in ce clasa esti ? Am rugat de mai multe ori userii elevi sa mentioneze in profil clasa. Raspunsul meu depinde de asta. Deoarece stii inductie (ceea ce nu-i mare lucru totusi, se poate face si la clase mai mici) banuiesc ca ai fi in clasa a X - a ... Astept raspunsul tau. Numai bine, V.N.

Adriana Nistor · Post by **Adriana Nistor** » Sat Jan 31, 2009 6:44 pm

Sunt in clasa a IX-a, dar am invatat binomul lui Newton.

enescu · Post by **enescu** » Sat Jan 31, 2009 7:05 pm

Sa se arate ca pentru orice numere intregi strict pozitive m, n, exista p intreg strict pozitiv astfel incat

\( (\sqrt{m}+\sqrt{m-1})^n=\sqrt{p}-\sqrt{p-1} \).

Ioan Tomescu, Olimpiada Nationala, 1980, clasa a X-a

Virgil Nicula · Post by **Virgil Nicula** » Sat Jan 31, 2009 7:34 pm

Apreciez ca imediat dupa ce te-am rugat ai mentionat la profil clasa. Si acum

(cu deosebita placere !) iata cum am ajuns la acea expresie a lui \( m=f(n) \) .

Se observa ca \( \left(1+\sqrt 2\right)^n=\sum_{k=0}^nC_n^k2^{\frac k2}=\sqrt {m+1}+\sqrt m \) si \( \left(1-\sqrt 2\right)^n=\sum_{k=0}^n(-1)^kC_n^k2^{\frac k2}=(-1)^n\left(\sqrt {m+1}-\sqrt m\right) \)

deoarece \( \left(1+\sqrt 2\right)^n\cdot \left(1-\sqrt 2\right)^n=(-1)^n \) si \( \left(\sqrt {m+1}+\sqrt m\right)\cdot\left(\sqrt {m+1}-\sqrt m\right)=1 \) . Realizam suma

\( \left(1+\sqrt 2\right)^n+\left(1-\sqrt 2\right)^n=2\cdot\sum_{k=0}^{\left[\frac n2\right]}C_n^{2k}2^k \) . Insa \( \left(1+\sqrt 2\right)^n+\left(1-\sqrt 2\right)^n=\left[1+(-1)^n\right]\cdot\sqrt {m+1}+\left[1-(-1)^n\right]\cdot\sqrt m \) . Deci

\( 2\cdot\sum_{k=0}^{\left[\frac n2\right]}C_n^{2k}2^k=\left[1+(-1)^n\right]\cdot\sqrt {m+1}+\left[1-(-1)^n\right]\cdot\sqrt m \) de unde rezulta concluzia in functie de paritatea lui \( n \) .