x^4 morfism -> x^n^2 morfism
Moderators: Bogdan Posa, Beniamin Bogosel, Marius Dragoi
-
Bogdan Posa
- Pitagora
- Posts: 77
- Joined: Fri Dec 14, 2007 3:47 pm
- Location: Motru , Gorj , Romania
- Contact:
x^4 morfism -> x^n^2 morfism
Se consideră un grup G şi funcţia \( f(x)=x^4 \). Să se arate că dacă funcţia f este morfism de grupuri, atunci funcţia \( g(x)={x}^{n^2} \) este morfism de grupuri oricare ar fi n natural.
Gradul de cultură al unei ţări se măsoară astăzi, prin nivelul matematic al locuitorilor ţării (André Lichnerowicz)
-
Marius Mainea
- Gauss
- Posts: 1077
- Joined: Mon May 26, 2008 2:12 pm
- Location: Gaesti (Dambovita)
Inductie dupa n.
P(n):\( g(x)=x^{n^2} \) e morfism pentru orice n natural.
1) Verificare: P(0),P(1),P(2)sunt adevarate.
2) Pasul de inductie: \( P(0),P(1),...P(n-1)\Longrightarrow P(n) \)
i) Daca n=4k atunci \( (xy)^{(4k)^2}=[(xy)^4]^{4k^2}=(x^4y^4)^{4k^2}=.... \)
ii) Daca n=4k+2 atunci \( (xy)^{(4k+2)^2}=(x^4y^4)^{(2k+1)^2}=..... \)
iii) Daca \( n=4k\pm3 \) atunci \( (xy)^{(4k\pm3)^2}=(xy)^{16k^3\pm24k+9}=x^{16k^2}y^{16k^2}x^{\pm24k}y^{\pm24k^2}x^9y^9=... \),
unde la ultima relatie folosim
\( x^3y^4=y^4x^3\Longrightarrow x^{3k}y^{4p}=y^{4p}x^{3k} \) si apoi
\( (xy)^{12}=[(xy)^3]^4=(y^3x^3)^4=y^{12}x^{12}=x^{12}y^{12} \) etc...
P(n):\( g(x)=x^{n^2} \) e morfism pentru orice n natural.
1) Verificare: P(0),P(1),P(2)sunt adevarate.
2) Pasul de inductie: \( P(0),P(1),...P(n-1)\Longrightarrow P(n) \)
i) Daca n=4k atunci \( (xy)^{(4k)^2}=[(xy)^4]^{4k^2}=(x^4y^4)^{4k^2}=.... \)
ii) Daca n=4k+2 atunci \( (xy)^{(4k+2)^2}=(x^4y^4)^{(2k+1)^2}=..... \)
iii) Daca \( n=4k\pm3 \) atunci \( (xy)^{(4k\pm3)^2}=(xy)^{16k^3\pm24k+9}=x^{16k^2}y^{16k^2}x^{\pm24k}y^{\pm24k^2}x^9y^9=... \),
unde la ultima relatie folosim
\( x^3y^4=y^4x^3\Longrightarrow x^{3k}y^{4p}=y^{4p}x^{3k} \) si apoi
\( (xy)^{12}=[(xy)^3]^4=(y^3x^3)^4=y^{12}x^{12}=x^{12}y^{12} \) etc...