mateforum.ro

Sa se calculeze

\( \lim_{n\to\infty}n\int_{-1}^{0}(x+e^x)^{n}dx \).

Fie \( f:[0,1]\to\mathbb{R} \) o functie care are limita finita in orice punct din \( [0,1] \). Sa se arate ca \( f \) este integrabila.

Exista functii \( f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} \) continue astfel incat

\( f(1)=2 \) si \( f(f(x))=x^2-2x+2,\forall x\in\mathbb{R} \)?

Cristinel Mortici, Olimpiada locala Constanta, 1999

Sa se arate ca daca \( n\in\mathbb{N}^{*} \) atunci are loc:

\( \sin\frac{\pi}{2n}\geq\frac{1}{n} \).

Marius Cavachi, Olimpiada judeteana Constanta, 1993

a) Fie f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} o functie care admite o primitiva F:\mathbb{R}\to\mathbb{R} astfel incat F(x)\sin x\leq f(x)\cos x, \forall x\in\mathbb{R} . Sa se arate ca f(x)=0,\forall x\in\mathbb{R} . b) Determinati functiile f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} care admit o primitiva F:\mathbb{R}\to\mathb...

Fie \( (G, \cdot) \) un grup finit, iar \( (\mathbb{Q}, +) \) este grupul aditiv al numerelor rationale. Daca \( f: (\mathbb{Q}, +) \to (G,\cdot) \) este morfism de grupuri, atunci \( f(x)=e, \forall x\in\mathbb{Q} \), unde \( e \) este elementul neutru al grupului \( G \).

***, Olimpiada locala Constanta, 2008

Sa se calculeze

\( \int\frac{x^{2}(\ln x-1)}{x^{4}- \ln^{4} x}dx, x>1 \).

Gazeta Matematica, Olimpiada locala Constanta, 2008

Fie sirul (x_{n})_{n\geq 1} definit prin x_{1}\in (0, \frac{1}{3}) si x_{n+1}=x_{n}-3x_{n}^{2},\forall n\geq 1 . Aratati ca: i) sirul (x_{n}) este convergent la zero; ii) \lim_{n\to\infty}nx_{n}=\frac{1}{3} ; iii) \lim_{n\to\infty}\frac{n}{\ln n}\left(nx_{n}-\frac{1}{3}\right)=-\frac{1}{3} . Daniela...

Fie (x_{n})_{n\geq 1} un sir de numere reale strict pozitive astfel incat x_{1} este fixat si x_{n+1}^{n}=a\cdot x_{n}^{n+1},\forall n\geq 1 si a>0 este dat. Sa se arate ca sirul (x_{n})_{n\geq 1 este convergent daca si numai daca x_{1}\leq\frac{1}{a} . Dorin Arventiev, Olimpiada locala Constanta, 2...

a) Fie X\in M_{2}(\mathbb{C}) o matrice. Demonstrati echivalenta: \det(X+I_{2})=\det(X-I_{2})\Leftrightarrow tr(X)=0 . b) Fie A\in M_{2}(\mathbb{C}) o matrice astfel incat exista k\in\mathbb{N}^{*} astfel incat sa avem \det(A^{l}+I_{2})=\det(A^{l}-I_{2}) , pentru l\in\{k, k+1\} . Demonstrati ca A^{n...

Fie \( A,B\in M_{n}(\mathbb{C}) \) matrice astfel incat \( AB=BA \), \( A^{4}=2I_{n} \) si \( B^{6}=2I_{n} \). Sa se arate ca matricele \( C=A-B \), \( D=A+B \), \( E=A^{3}-B^{5} \) sunt inversabile.

Doru Caragea, Olimpiada locala Constanta, 2008

Fie ABC patrulater inscriptibil in plan. Notam cu H_{1}, H_{2}, H_{3}, H_{4} ortocentrele triunghiurilor ABC, BCD, CDA respectiv DAB , iar cu M, N mijloacele diagonalelor AC respectiv BD . Sa se arate ca daca triunghiurile MH_{2}H_{4} si NH_{1}H_{3} , au acelasi centru de greutate, atunci patrulater...

Sa se determine numerele strict pozitive \( a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n} \) pentru care este adevarata egalitatea:

\( a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\ldots +a_{n}^{2}=\frac{2n+1}{3}(a_{1}+a_{2}+\ldots +a_{n}), \forall n\in\mathbb{N}^{*} \).


Gazeta Matematica, Olimpiada locala Constanta, 2008

Fie \( a, b, c\in (-1, \infty) \) astfel incat sa avem \( ab+bc+ca+2abc=1 \). Sa se arate ca

\( \frac{1}{2+a+b}+\frac{1}{2+b+c}+\frac{1}{2+c+a}\leq 1 \)


Tudorel Lupu, Olimpiada locala Constanta, 2008

Fie f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} definita prin f(x)=\{x\}+\{2x\}+\{3x\} , unde \{a\} reprezinta partea fractionara a numarului real a . Sa se arate ca a) functia f este periodica si sa se determine perioada principala; b) sa se rezolve inecuatia: f(x)\leq 1 . Dorin Arventiev, Olimpiada locala Constanta...