mateforum.ro

Un cub este sectionat cu 9 plane, paralele cu una dintre muchiile cubului, astfel incat fiecare dintre ele sa determine in cub doua prisme patrulatere ce au raportul volumelor egal cu \( 1/n \) n apartine lui N, n fixat. Sa se arate ca exista cel putin trei plane avand o dreapta comuna.

Sectiunea este un pentagon al carui perimetru se poate determina din niste triunghiuri dreptunghice iar pt arie se proiecteaza acest penatagon pe planul (ABC) si folosim relatia S'=S cos u , unde S'- aria proiectiei, S-aria pentagonului, u- masura unghiului format de planul pentagonului cu planul (...

Sa se rezolve in R ecuatia :X^6-2[X]^3+1 =0

Indicatie: Se inmultesete expresia cu 2 si se aplica de 3 ori inegalitatea C.B.S forma Titu Andreescu

a^2 +b^2-ab=c^2 <=> a^2 -c^2= ab-b^2 <=> (a+c) (a-c)=b(a-b) <=> a-c = \frac{b(a-b)}{a+c} (1) . Analog se obtine b-c= \frac{a(b-a)}{b+c} (2) Din (1) si (2) prin inmultire se obtine ca (a-c)(b-c)= \frac{b(a-b)a(b-a)}{(a+c)(b+c)} = \frac{-ab(a-b)^2}{(a+c)(b+c)} care e evident \leq 0 . Egalitate pt a=b.

a) Obtinem usor \( 2(a^2 +b^2) \geq (a+b)^2 \), extragem radacina patrata si folosim \( |A| \geq A \), de unde rezulta concluzia.
b) Sub primul radical obtinem patratul unui binom +4, iar sub al doilea patratul unui trinom +64. Folosim a) si xy+yz+xz = 15 de unde rezulta concluzia. Egalitate x=y=z=+ sau -√5