mateforum.ro

\( \(X+Y\)\(X-Y\)=O_2 \) nu implica faptul ca una dintre paranteze este egala cu \( O_2 \).

Ba da! deoarece \( X+Y \) este inversabila. Inmultind egalitatea cu inversa acesteia obtinem \( X-Y=O_2 \).

Din faptul ca cercul \(LMN\) e tangent la PQ si LM,LN sunt paralele cu AC,AB (ca linii mijlocii) reiese ca \angle LMN=\angle APQ si \angle LNM=\angle AQP deci gasim asemanarea \bigtriangleup APQ\sim\bigtriangleup LMN, de unde \frac{AP}{AQ}=\frac{LM}{LN}=\frac{QC}{PB}. Astfel AP\cdot PB=AQ\cdot QC, c...

Vad ca asta a ramas (surprinzator :? ) cam mult timp nerezolvata. Daca p^{2q}+q^{2p} ar fi prim cu necesitate unul din numerele p,q, fie el p trebuie sa fie 2, in timp ce q trebuie sa fie impar. Dar 4^q+q^4=4\cdot 2^{2(q-1)}+q^4. Cum q este impar, ultima expresie este de forma a^4+4b^4 care se desco...

g este surjectiva pe \mathbb{N} deci functia f+h acopera tot \mathbb{N}, astfel ca exista x_0,x_1,x_2,... asa incat f(x_0)+h(x_0)=0,f(x_1)+h(x_1)=1,f(x_2)+h(x_2)=2,... . De aici, tinand cont de injectivitatea lui h, gasim h(x_0)=0,h(x_1)=1,h(x_2)=2,... . Gasite fiind numerele naturale distincte dou...

Exact. Asta demonstreaza (ii) si parte din (i).
Ce ramane de aratat, si anume
\( \frac{1}{4R^2}\sum bc\sqrt{4R^2-a^2}-2R=2R\cos A\cos B\cos C \)
se bazeaza pe o identitate cunoscuta, deloc greu de demonstrat (dar imposibil de tinut minte... ):
\( \sum\cos A\sin B\sin C=1+\cos A\cos B\cos C. \)

Acum, sa alegem un plan xOy in spatiul \mathbb{R}^3 . Originea lui va fi si originea spatiului. Consideram in acest plan cercurile disjuncte de ecuatie (x-\(4n+1\)\)^2+y^2=1, \forall n\in\mathbb{N}. Se vede ca orice sfera centrata in origine taie fie unul din cercurile alese in 2 puncte, fie este ta...

Intr-adevar, planul nu poate fi acoperit cu cercuri (si nu puncte!) disjuncte. Intuitiv, interiorul unui cerc va fi acoperit cu cercuri de raze tot mai mici care vor sfarsi prin a fi de raza nula, adica puncte. Insa spatiul poate fi acoperit cu cercuri disjuncte de raza strict pozitiva! O sfera (sup...

Vezi aici ceva solutii sintetice si o surprinzatoare solutie algebrica ce implica proprietati ale conicelor.

Fiind dat triunghiul ascutitunghic ABC , notam cu A\prime ,B\prime, C\prime picioarele inaltimilor din A,B,C. Notam cu r_9,R_9 razele cercurilor inscris, respectiv circumscris triunghiului A{\prime} B\prime C\prime . (i) Sa se arate ca r_9=\frac{1}{4R^2}\sum bc\sqrt{4R^2-a^2}-2R=2R\cos A\cos B\cos C...

Daca \( x_1,x_2,...,x_n\in\(0,\infty\) \) si \( n\in\mathbb{N},n\geq 2 \) demonstrati ca:
\( \sqrt{x_1}+\sqrt[4]{x_2}+\sqrt[6]{x_3}+...+\sqrt[2n]{x_n}>\sqrt[n(n+1)]{x_1x_2...x_n}. \)

GM 2/2003

In interiorul triunghiului ascutitunghic ABC consideram punctul P . Notam cu x,y,z distantele de la P la varfurile A,B,C si cu \alpha,\beta,\gamma masurile in radiani ale unghiurilor APB,BPC,CPA. (i) Daca S este aria triunghiului ABC atunci are loc inegalitatea: 4S^2\leq \(2+\frac{1}{2}\cdot \sin 2\...

Fie \( n\geq 2 \) un numar natural fixat. Determinati numerele complexe \( z,a \) de modul \( 1 \) astfel incat
\( z^{n+1}+az^{n}+1=0. \)

C. Chiser

(i) Studiati monotonia functiei \( f:\[ 0,\pi/2 \]\rightarrow\mathbb{R} \) definita prin \( f(x)=2^{(\sin x)^2}\cdot 3^{(\cos x)^2}+3^{(\sin x)^2}\cdot 2^{(\cos x)^2}, \forall x\in\[ 0,\pi/2\]. \)
(ii) Aratati ca ecuatia \( f(x)=5\sin\(\sin3x\) \) nu are solutii in \( \[0,\pi/2\]. \)

***

Fie \( A_0A_1A_2A_3A_4 \) un pentagon convex. Sa se arate ca punctele \( A_i \) sunt conciclice daca si numai daca produsul \( \mathrm{dist}(A_4,A_iA_j)\cdot\mathrm{dist}(A_4,A_kA_l) \) este constant pentru orice alegere \( \{i,j,k,l\}=\{0,1,2,3\}. \)

(TST II 2009, problema 3)

Iese prin inductie. Si iese frumos :wink: Cazul n=1 e trivial. Presupunem afirmatia adevarata pentru toti k\leq n si o aratam pentru n+1. Avem ca \sum_{i=1}^{k}\frac{a_i}{i}\geq a_k, \forall k=1,2,...,n. Sumand toate aceste relatii obtinem n\frac{a_1}{1}+(n-1)\frac{a_2}{2}+...+\frac{a_n}{n}\geq a_1+...

Fie 2^m\leq n<2^{m+1}. Din formula lui Legendre exponentul lui 2 in \textrm{C}_{2n}^n este egal cu \textrm{e}_2=\sum_{k=1}^{m+1}\lfloor\frac{2n}{2^k}\rfloor-2\sum_{k=1}^{m}\lfloor\frac{n}{2^k}\rfloor sau \textrm{e}_2= n-\sum_{k=1}^{m}\lfloor\frac{n}{2^k}\rfloor. Pe de o parte \sum_{k=1}^{m}\lfloor\f...

Fie \( n>6 \) si \( a_1<a_2<...<a_k \) numerele naturale nenule mai mici ca \( n \) si coprime cu \( n. \) Daca \( a_1,a_2,...,a_k \) formeaza o progresie aritmetica sa se demonstreze ca \( n \) este prim sau o putere a lui \( 2. \)