mateforum.ro

Sa se determine \( z \in C^* \) stiind ca \( r\in(2,\infty) \) si \( \displaystyle |z+\frac{1}{z}|=|z^3+\frac{1}{z^3}|=r \).

Sa se determine functiile injective \( f:R\to R \) cu proprietatea ca:
\( f(x)f(y)=xf(y)+yf(x)-f(xy), \forall x,y \in R \).

Fie \( f:N \to Z \) astfel incat \( (f(n+1)-f(n))(f(n+1)+f(n)+4)\leq0,\forall n\in N \). Sa se arata ca f nu este injectiva.

Sa se determine numerele naturale n pentru care exista \( z\in C \) cu \( |z|=1 \) si \( z^n+z+1=0 \).

Succes !

Uite aici http://mathworld.wolfram.com/Kroneckers ... eorem.html enuntul teoremei si aici o aplicatie frumoasa
http://mateforum.ro/viewtopic.php?t=86

Din \( \lim_{x\to 0, x>0}xf(x) \) exista si este finita obtinem
\( |f(x)| \le \frac{M}{x} \) . Daca introducem integrala \( \int_{\frac{1}{n}}^n \) in aceasta relatie obtinem cerinta.
Unde gresesc ?

Fie \( f: (0 , \infty)\to\mathbb{R} \) o functie continua cu proprietatile
\( \lim_{x\to\infty}f(x)=0 \) si \( \lim_{x\to 0, x>0}xf(x) \) exista si este finita.
Aratati ca sirul
\( a_{n}=\frac{1}{n} \int_{\frac{1}{n}}^{n}f(x)dx \) este convergent la 0 .

Fie G un grup cu 2002 elemente care are un singur subgrup cu 26 elemente si un singur subgrup cu 77 de elemente. Aratati ca daca cele doua subgrupuri sunt comutative, atunci G este comutativ.

Ion Savu

1. \( \frac{1}{4} \int_0^1f^2(x)dx+2(\int_0^1f(x))^2dx \geq 3 \int_0^1f(x) dx\int_0^1 xf(x)dx \)

2. \( \int_0^1f(x)dx \int_0^1x^4f(x)dx \le \frac{4}{15} \int_0^1f^2(x)dx \)

O rezolvare va rog.

Fie G un grup abelian in care numarul de endomorfisme este egal cu numarul de elemente. Aratati ca G este izomorf cu \( \mathbb{Z}_{n} \).

Este adevarat ca daca G nu este ciclic atunci \( |End(G)|>|G| \) ?

Se consideră un grup G şi funcţia \( f(x)=x^4 \). Să se arate că dacă funcţia f este morfism de grupuri, atunci funcţia \( g(x)={x}^{n^2} \) este morfism de grupuri oricare ar fi n natural.

Fie K un corp finit. 1) Orice polinom ireductibil din K[X], care are o radacina in K, are toate radacinile in K. 2 ) Fie K un corp. Aratati ca urmatoarele propozitii sunt echivalente: a) singurele polinoame ireductibile din K sunt cele de gradul 1 b) K este algebric inchis c) orice polinom are o rad...

Se arata ca daca a^5=1 , atunci a=1 (se foloseste ireductibilitatea polinomului X^2-5 plus o descompunere gasita pe luna :D). Pe baza acestui rezultat functia f(x)=x^5 este injectiva, deci bijectiva (K finit), deci X^5+a=X^5+b^5=(x+b)g(x) . Descompunerea de care vorbeam este a^5-1 = 4^{-1}a^2(a-1)((...

\( 0=x^7-1=(x-1)(x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x)=(x-1)(x^3+x+1)(x^3+x^2+1) \). Luam x diferit de 1 si cum K este corp obtine ca \( x^3+x+1=0 \) sau \( x^3+x^2+1=0 \). Daca \( x^3+x^2+1=0 \), atunci \( (x+1)^3+(x+1)^2+1=0 \), deci elementul cautat este \( 1+a \).

Fie A un inel cu 8 elemente. Daca exista \( a\in A \) astfel incat \( a^3+a+1=0 \), atunci 1+1=0 si A este corp.

O generalizare se poate ? Adica fie A un inel si f un polinom (eventual dependent de ordinul lui A). Daca un element al inelului este radacina a polinomului, atunci inelul este corp.