mateforum.ro

1) m(\angle{AFP})=m(\angle{AEP})=90^0\Rightarrow AFPE\mbox{-inscriptibil.} 2) \mbox{Notam cu }Q\mbox{ cel de al doilea punct de intersectie al cercului circumscris patrulaterului }AFPE \mbox{ cu cercul circumscris triunghiului }MPD\Rightarrow\mbox{ dreapta }PQ\mbox{ este axa radicala a cercurilor }...

\mbox{Facand substitutia: }x=\sin^2y;\ y \in\left(0;\frac{\pi}{2}\right) \mbox{, integrala se reduce la: }2.\int{\frac{\sin^3y.\cos y .dy}{\sin y+\cos y}};\\ \mbox{iar aceasta integrala cu substitutia: }tg {\frac{y}{2}}=t;\ t\in\left(0;\frac{\pi}{2}\right)\mbox{, se reduce la integrala unei functii...

Fie O centrul cercului circumscris triunghiului ABC. Notam cu B_1 si C_1 cel de al doilea punct de intersectie al dreptelor AB si AC cu cercul circumscris triunghiului OBC; cu A_2 si C_2 cel de al doilea punct de intersectie al dreptelor BA si BC cu cercul circumscris triunghiului OAC; iar cu A_3 si...

\mbox{Un dulap ramane deschis daca numarul lui de ordine } d \mbox{ are un numar par de divizori naturali.} OBS: \mbox{Un numar a carui descompunere in factori primi are forma: } d=p_1^{a_1}.p_2^{a_2}.\dots.p_k^{a_k}\mbox{, are } \\ (a_1+1).(a_2+1).\dots.(a_k+1) \mbox{ -divizori}\Rightarrow\\ \mbox...

INDICATIE: \( \mbox{Aratati ca }m(\angle{BLC})=180^0-\phi. \)

INDICATIE: 1) \frac{|AM|}{|AD|}=\frac{|BN|}{|BE|}=\frac{|CP|}{|CF|}\Rightarrow \frac{|MA|}{|MD|}=\frac{|NB|}{|NE|}=\frac{|PC|}{|PF|}=k. \ \ (1) 2) \mbox{Daca } D^\prime, E^\prime, F^\prime \mbox{ picioarele bisectoarelor exterioare ale unghiurilor triunghiului ABC, atunci: } AD^\prime \perp AD \mbo...

Indicatie b) z=x+iy; x,y\in \mathbb{R}\Rightarrow \left\{ |z-i|=|x+i(y-1)|=\sqrt{x^2+(y-1)^2}\\ |2z+4|=|(2x+4)+2iy|=\sqrt{(2x+4)^2+4y^2}\\ |z|=\sqrt{x^2+y^2}\\ |2x-8i|=|2z+2i(y-4)|=\sqrt{4x^2+4(y-4)^2} ; asa ca, sistemul de ecuatii b) este echivalent cu urmatorul: \left\{ x^2+(y-1)^2=(2x+4)^2+4y^2\...

Se folosesc urmatoarele 2 teoreme: 1). Daca intr-un patrulater ABCD, M\in [BC] si N\in [AD] a. i. sa avem: \frac{|MA|}{|MD|}=\frac{|NB|}{|NC|}=\frac{|AB|}{|CD|} , iar \{O\}=AB\cap CD , atunci dreapta MN este paralela cu bisectoarea unghiului \angle{AOC} . Consecinta: In cazul in care |AB|=|CD|, punc...

\mbox{Problema se gaseste in cartea lui Mihalca, Chitescu si Chirita: GEOMETRIA PATRULATERULUI (Ed.Teora 1998);}\\ \mbox{problema 7.7 de la pag.86 si este rezolvata la pag.91-92.}\\ \mbox{Demonstaria citata se face in 2 pasi:}\\ 1).\mbox{Ideea este de a arata ca patrulaterele ABNM, BCPN, CDQP si DA...

a) \mbox{Facand substitutiile: } p-a=x, p-b=y, p-c=z, \mbox{ avem: } a=y+z,\ S=\sqrt{xyz(x+y+z)},\ h_a=\frac{2S}{a}=\frac{2\sqrt{xyz(x+y+z)}}{y+z},\ r_a=\frac{S}{p-a}=\frac{\sqrt{xyz(x+y+z)}}{x}\Rightarrow \Rightarrow \frac{a}{h_a+r_a}=\frac{y+z}{\(\frac{2}{y+z}+\frac{1}{x}\)\sqrt{xyz(x+y+z)}}=\frac...

\mbox{Din teorema sinusurilor, avem: } \frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R\Rightarrow\{ a=2R\sin A=2R\sin[\pi-(B+C)]=2R\sin(B+C)\\ b=2R\sin B\\ c=2R\sin C \mbox{Inlocuind acum valorile lui } a, b \mbox{ si } c \mbox{ in relatia } a=b\cos C+c\cos B \mbox{, obtinem: } 2R\sin(B+C)=2R...

\( \mbox{Sa se demonstreze ca intr-un triunghi oarecare ABC, au loc inegalitatile:} \)
a) \( \frac{a}{h_a+r_a}+\frac{b}{h_b+r_b}+\frac{c}{h_c+r_c}\ge\sqrt{3}; \)
b) \( \frac{a+b}{l_a+l_b}+\frac{a+c}{l_a+l_c}+\frac{b+c}{l_b+l_c}\ge2\sqrt{3}, \mbox{ unde }l_a, l_b, l_c \mbox{ sunt lungimile bisectoarelor.} \)

\mbox{Fie ABCDEF un hexagon, avand laturile opuse paralele. Notam cu M, N, P, Q, R si cu S, mijloacele } \mbox{laturilor [AB], [BC], [CD],[DE], [EF] si respectiv [FA]. Sa se arate ca dreptele MQ, NR si PS} \mbox{(care unesc mijloacele laturilor opuse) sunt concurente.} O alta proprietate a acestui ...

\mbox{Prin varfurile A, B, C, D, E si F ducem dreptele a, b, c, d, e si respectiv f, astfel incat sa avem: } a\parallel d\parallel BC\parallel EF; \ \ b\parallel e\parallel AF\parallel f CD; \ \ c\parallel f\parallel AB\parallel DE \ \ \mbox{ si notam apoi cu: } \{A_1}=c\cap e; \{C_1\}=a\cap e; \{E...

Vezi teorema 10 de la pag. 16 din articolul lui Darij Grinberg: http://www.cip.ifi.lmu.de/~grinberg/CircumRev.pdf